Question

quais são os divisores de 84?​

Answer 1

Resposta:

Bom, temos 12 divisores : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84

Answer 2

Teoria:

A divisão sucessiva em fatores primos é uma técnica que pode ser usada pra achar várias coisas:

• O estado mais fatorado de um número;
• O MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre dois ou mais números;
• O MDC (Máximo Divisor Comum) entre dois ou mais números;
• Quantos e quais são os divisores de um número.

Mas como podemos realizar um divisão sucessiva em fatores primos?

Traça-se uma barra que divide dois lados: o primeiro é para o número a ser fatorado e o segundo para os fatores primos que dividirão as sequências de números.

Exemplo: Vamos fatorar o 60:

60 | 2

30 | 2

15  | 3

5   | 5

1

Observação: a ordem dos fatores não importa, já que a multiplicação é uma operação comutativa para a aritmética (menos para matrizes). Os fatores primos do 60, quando multiplicados entre si, obviamente devem resultar em 60, o que é um bom check-up da execução do método de forma correta. Outro fato importante é que você deve saber quais são os menores números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 etc. Além disso, números primos são aqueles que possuem EXATAMENTE quatro divisores inteiros (pertencentem ao conjunto númerico Z). Exemplo:

D(2) = {±1; ±2}

Nota-se que 2 é primo pois possui EXATAMENTE quatro divisores inteiros.

D(1) = {±1}

Nota-se que o 1 possui apenas dois divisores inteiros, então não é primo.

Mas como conseguimos encontrar quais e quantos são os divisores de um número a partir deste processo?

1- QUANTOS:

a) Realize a divisão sucessiva em fatores primos.

b) Escreva o número de forma contraida, juntando fatores de bases iguais:

$60 = 2*2*3*5 = 2^2*3^1*5^1$

c) Coloque os expoentes dos fatores no seguindo modelo:

$n(D)=(\alpha +1)*(\beta +1)*...$

Legenda:

$D$ : conjunto dos divisores positivos

$n(D)$ : número de elementos que pertencem ao conjunto dos divisores positivos

$\alpha$ : Expoente de um fator

$\beta$ : Expoente de outro fator

E assim por diante, até que estejam postos todos os expoentes dos fatores primos.

d) Resolva a expressão matemática para obter os divisores positivos. Para obter o total de divisores basta multiplicar por 2, para que sejam contabilizados os divisorse positivos e os divisores negativos. Nota-se que o próprio número e o 1 (positivos e negativos) estão contabilizados, já que estes números são divisores inteiros também.

2- QUAIS:

a) Realize a divisão sucessiva em fatores primos

b) Multiplique os fatores primos entre si, desta maneira:

Exemplo:

.             1   (coloca-se o 1 em cima)

72 | 2 :  2   (o primeiro 2 multiplica o 1

36 | 2 :  4 (o segundo 2 multiplica o 1 e o 2 (sem repetir), então adiciona o 4)

18  | 2 :  8   (o terceiro 2 multiplica o 1, o 2 e o 4, então adiciona só o 8)

9   | 3 :   3, 6, 12, 24 (o 3 se multiplica por todos os que já foram separados)

3   | 3 :   9, 18, 36, 72 (o segundo 3 multiplica todos os números sem repetir)

1

c) Temos na terceira fileira todos os números positivos que são divisores de 72, para acha todos os divisores de 72, basta expressar os números encontrados em ambos os sinais:

D(72) = {±1; ±2; ±4; ±8; ±3; ±6; ±12; ±24; ±9; ±18; ±36; ±72}

(Note que o conjunto não precisa ser expresso na ordem crescente, já que os elementos que a ele pertencem são genéricos e, por mais que apresentam uma sequência de menor a maior, não precisam ser expressos em uma ordem).

Resolução:

.              1

84 | 2  :  2

42 | 2  :  4

21  | 3  :  3; 6; 12

7   | 7  :   7; 14; 28; 21; 42; 84

1

Quais são os divisores inteiros?

D(84) = {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±7; ±12; ±14; ±21; ±28; ±42; ±84}

Quantos são os divisores inteiros?

$84 = 2^2*3^1*7^1$

$n(D)=2*(2+1)*(1+1)*(1+1) = 2*2*2*3=24$

$n(D) = 24$ divisores inteiros