Question

Para q valores de k a equação x² + 2kx + (k²-k-2) = 0 admite duas raízes reais distintas e estritamente positivas?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{S = \left \{ k \in \mathbb{R} \, / \, - 2 < k < - 1 \right \}}}$

Explicação passo-a-passo:

De acordo com o enunciado, as raízes da equação deverão ser distintas e estritamente positivas (não negativas e não nulas).

Para que isso aconteça, devemos garantir que três condições sejam atendidas:

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad X_v > 0} \\\\ \mathtt{\bullet \qquad Y_v < 0} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad c > 0}$

CONDIÇÃO I:

$\\ \displaystyle \mathsf{X_v > 0} \\\\ \mathsf{\frac{- b}{2a} > 0} \\\\ \mathsf{- b > 0} \\\\ \mathsf{- 2k > 0} \\\\ \mathsf{- k > 0} \\\\ \Rightarrow \boxed{\mathsf{S_1 = \left \{ k \in \mathbb{R} \, / \, k < 0 \right \}}}$

CONDIÇÃO II:

$\\ \displaystyle \mathsf{Y_v < 0} \\\\ \mathsf{- \frac{\Delta}{4a} < 0} \\\\ \mathsf{- \Delta < 0} \\\\ \mathsf{- 4k^2 + 4 \cdot (k^2 - k - 2) < 0} \\\\ \mathsf{- 4k - 8 < 0} \\\\ \Rightarrow \boxed{\mathsf{S_2 = \left \{ k \in \mathbb{R} \, / \, k > - 2 \right \}}}$

CONDIÇÃO III:

$\\ \displaystyle \mathsf{c > 0} \\\\ \mathsf{k^2 - k - 2 > 0} \\\\ \mathsf{(k - 2)(k + 1) > 0}$

Resolvendo essa Inequação Quadrática (ou Inequação Produto)...

__+___(- 1)____-____(+ 2)____+____

Tiramos que $\displaystyle \boxed{\mathtt{S_3 = \left \{ k \in \mathbb{R} \, / \, k < - 1 \, \cup \, x > 2 \right \}}}$.

Por fim, a resposta é dada pela intersecção... Ou seja, $\displaystyle \mathtt{S_1 \, \cap \, S_2 \, \cap \, S_3}$.

Dito isto,

__-_______-________-___(0)__+__+_____+_____

__-__(- 2)__+________+______+________+______

__+_______+___(- 1)___-______-___(+ 2)__+_____

__+__(- 2)__-____(- 1)__+__(0)__-___(+ 2)__+_____

Logo, concluímos que:

$\\ \displaystyle \boxed{\boxed{\mathsf{S_1 \cap S_2 \cap S_3 = S = \left \{ k \in \mathbb{R} \, / \, - 2 < k < - 1 \right \}}}}$

Ótima questão. Parabéns!!