URGENTE: TOPOLOGIA GERAL -MESTRADO EM MATEMÁTICA
Por que a topologia de limite inferior (Reta de Sorgenfrey) não é mensurável?
Respostas
Resposta:
Olá,
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, suponha que B seja uma base para a topologia de limite inferior (a linha Sorgenfrey, também conhecida como S). Para cada x∈S, sabemos que [x, x + 1) está aberto, contém x, portanto, para algum vizinhança B_x, nós temos x∈B_x, tal que x∈B_x⊂ [x, x + 1). Se x ≠ y, digamos x <y, y∈B_y mas x∉ B_y como B_y⊂ [y, y + 1). Então B_x ≠ B_y.
Isto mostra que você terá a associação x -> B_x é uma função injetora de S na base B. Segue uma observação: Tal fato também revela que a reta real tem cardinalidade 2^ℵ_0.
Agora, se um espaço X é metrizável e separável, sabemos que ele tem uma base contável, temos que a linha Sorgenfrey é separável, pois Q é denso na linha Sorgenfrey (cada [a, b) contém um intervalo aberto (a, b) que sempre contém pontos de Q).
Mas vimos que a linha de Sorgenfrey não pode ter base contável, porém, é separável, portanto não é metrizável.
Isso responde a sua questão.
Como alternativa, se você já provou que S × S não é normal (uma das razões pelas quais este exemplo é frequentemente introduzido):
se S é metrizável, seu quadrado também é.
Mas espaços metrizáveis são normais, teríamos algo contraditório, também.
Bons estudos