Question

Sejam 1 e 3,duas raízes de x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0
Determine os valores de a,b e as demais raízes​

Answer 1

Resposta:

Situação com primeira raiz

$x = 1 \\ {x}^{4} + {ax}^{3} + (a + 3) \times {x}^{2} + 16x + b = 0\\ {1}^{4} + a \times {1}^{3} + (a + 3) \times {1}^{2} + 16 + b = 0 \\ 1 + a + a + 3 + 16 + b = 0 \\ 2a + b = - 20$

Situação com segunda raiz

$x = 3 \\ {x}^{4} + {ax}^{3} + (a + 3) \times {x}^{2} + 16x + b = 0 \\ {3}^{4} + a \times {3}^{3} + (a + 3) \times {3}^{2} + 16 \times 3 + b = 0 \\ 81 + 27a + 9a + 27 + 48 + b = 0 \\ 36a + b = - 156$

Com as sentenças construimos um sistema, e por ele vamos descobrir o valor de A e B

( por praticidade, usei o método de adição, anulando uma das incógnitas para trabalhar com a outra)

$2a + b = - 20 \: \: \: \: \: \: \: \: \times ( - 1)\\ 36a + b = - 156 \\ - 2a - b = 20 \\ 36a + b = - 156 \\ \\ 36a - 2 + b - b = - 156 + 20 \\ 34a = - 136 \\ a = - 4 \\ \\ 2a + b = - 20 \\ 2 \times - 4 + b = - 20 \\ b = - 20 + 8 \\ b = - 14$

Answer 2

Resposta: B) -2

2

Explicação passo-a-passo:

B) Complementando ...

Como a = -4 e b = -12 temos que:

x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b = 0

x^4+(-4)x^3+((-4)+3)x^2+16x+(-12) = 0

x^4-4x^3-x^2+16x-12= 0

Pelo enunciado sabemos que duas das raízes desta equação polinomial são r1 = 1 e r2 = 3. Para acharmos as outras duas vamos utilizar as relações de Girard:

É importante lembrar que:

P(x) = Anx^n + An-1x^(n-1) + An-2x^(n-2) + ... + A1x + A0 = 0

Assim:

Soma = - (An-1)÷An

r1+r2+r3+r4 = - (-4)÷1

1+3+r3+r4 = 4

r3+r4 = 4-4

r3+r4 = 0 (1)

Produto = [(-1)^n×A0]÷An

r1×r2×r3×r4 = [(-1)^4×-12]÷1

1×3×r3×r4 = -12

r3×r4 = -12÷3

r3×r4 = -4

r4 = -4÷r3 (2)

Substituindo (2) em 1, encontramos:

r3+r4=0

r3 + (-4÷r3) = 0

r3^2÷r3 - 4÷r3 = 0

r3^2 - 4 = 0

r3^2 = 4

r3 = +- 4^(1/2)

r3 = +- 2

Então:

r3' = -2

r3'' = 2

Assim:

r4' = -4÷r3'

r4' = -4÷-2

r4' = 2

r4'' = -4÷r3''

r4'' = -4÷2

r4'' = -2

Assim:

r3' = -2

r4' = 2

r3'' = 2

r4'' = -2

Portanto, as duas outras raizes da equação são:

-2

2