Question

Os lados do triângulo equilátero ABC medem 2. Calcule AB.BC+BC.CA+CA.AB

O resultado da lista é -6, mas só consigo chegar até -7​

Answer 1

Resposta:

-6

Explicação passo-a-passo:

O ângulo entre os vetores AB e BC é 120° (não é 60°, observe que AB vai de A para B e BC vai de B para C)

Logo, o produto escalar entre AB e BC é

AB·BC = |AB| |BC| cos 120°

AB·BC = 2*2*(-1/2) = -2

Pelo mesmo raciocínio você obtém BC·CA = CA·AB = -2

Logo,

AB·BC + BC·CA + CA·AB = -6

Outra maneira:

O módulo do vetor AB é 2. Então o produto escalar de B-A com B-A é o módulo ao quadrado. Ou seja:

(B-A)·(B-A) = 4

Usando as propriedades do produto escalar temos

B·B - 2A·B + A·A = 4    ( I )

Da mesma forma para os outros lados obtemos

A·A - 2A·C + C·C = 4  ( II )

B·B - 2B·C + C·C = 4   ( III )

Por outro lado, a expressão que queremos calcular é

E = AB·BC + BC·CA + CA·AB

E = (B-A)·(C-B) + (C-B)·(A-C) + (A-C)·(B-A)

Desenvolvendo novamente com as propriedades do produto escalar fica:

E = (B·C - B·B - A·C + A·B) + (A·C - C·C -A·B + B·C) + (A·B - A·A - B·C + A·C)

E = A·C + B·C + A·C - A·A - B·B - C·C

Para obter E, vamos somar as equações ( I ), ( II ) e ( III ):

(B·B - 2A·B + A·A) + (A·A - 2A·C + C·C) + (B·B - 2B·C + C·C) = 4+4+4

Ou seja

2 ( A·A + B·B + C·C - A·C - B·C - A·C) = 12

A·A + B·B + C·C - A·C - B·C - A·C = 6

-E = 6

E = -6