Question

Sabe-se que na geometria analítica podemos representar geometricamente e algebricamente retas, planos, cônicas etc. Com três pontos, por exemplo, podemos formar dois vetores contidos no plano e, ainda, escrever a equação geral do plano que contém esses três pontos. Assim, dados os pontos A (2, 1, 0), B (3, 3, 2) e C (1, 2, 4), a equação geral do plano que passa por esses pontos é:
A) 3x + 6y - 3z - 6 = 0
B) -3x - 3y +6z + 6 = 0
C) 6x + 6y - 3z + 6 = 0
D) =6x - 3y - 6z - 3 = 0
E) 6x - 6y + 3z - 6 = 0

Answer 1

Resposta:

Alternativa E)

Explicação passo-a-passo:

Vamos criar 2 vetores \AB e \AC: O símbolo \ quer dizer uma seta sobre AB e AC:

\AB=\B-\A=(3, 3, 2)-(2, 1, 0)=(3-2,3-1,2-0)=(1,2,2)

\AC=\C-\A=C (1, 2, 4)-(2, 1, 0)=(1-2,2-1,4-0)=(-1,1,4)

Produto vetorial \AC x \AB:

$\displaystule \vec{AC} \times \vec{AB}=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&1&4\\1&2&2\end{array}\right] =2i+4j-2k-k+2j-8i=-6i+6j-3k$

A equação do plano:

ax₀+by₀+cz₀+d=0

Precisamos descobrir o valor da constante d. Para isso substitua os valores encontrados do produto \AB x \AC e no lugar de x₀, y₀ e z₀ vamos escolher um ponto qualquer, adotei, ponto A(2,1,0):

a= -6, b= 6, c= -3

x₀= 2, y₀=1, z₀=0

-6(2)+6(1)-3(0)+d=0

-12+6+d=0 => d=6

A equação do plano:

-6x+6y-3z+6=0 => multiplicando tudo por (-1)

6x-6y+3z-6=0