Question

TEORIA DOS CONJUNTOS AVANÇADA-AXIOMA DE MARTIN

PROVE QUE MA(c) É FALSO.

MA é o simbolo que denota o axioma de Martin:
Se P = (P, ≤) é um conjunto parcialmente ordenado que satisfaz a propriedade ccc, e D é um conjunto
de no máximo κ subconjuntos densos abertos de P, existe um filtro D-genérico em P.

Answer 1

Resposta:

Olá,

Explicação passo-a-passo:

Diante da complexidade da sua pergunta irei supor conhecida todas as notações que se seguem.

Primeiramente. você deve Considerar o conjunto parcialmente ordenado (Fn (ω, 2), ⊆).  Diante disso, utilize o resultado:

Se eu for arbitrário e J for contável, então Fn (I, J) satisfaz a

condição de cadeia contável.

Para garantirmos que Fn (ω, 2) satisfaz ccc. Logo, para todo g ∈

2^ω, o conjunto o conjunto  

D_g =  {p∈Fn (ω, 2): existe n∈ω, tal que  

p(n) = 1 − g(n)}

é um conjunto aberto-denso na topologia de   Fn (ω, 2). Além disso, note também que D_n = {p ∈ Fn(ω, 2) : n ∈ dom(p)} é aberto-denso.

Consideremos o conjunto Ф a união da família de todos os D_g's e D_n's. Tal conjunto possui cardinalidade c (continnum).

Assuma  G ⊆ Fn(ω, 2) um  D-filtro genérico em Fn(ω, 2). Como para cada n ∈ ω, G∩D_n = ∅,

f_G = ∪G é uma função de ω em 2. Agora, já que para cada g ∈

2^ω, G ∩ D_g = ∅,

f_G = g. Assim,f _G seria uma função de ω em 2 que difere de todas as funções  g ∈  2^ω, o que é impossível.

Espero ter ajudado.

Bons estudos.