Question

dividindo o polinomio p(x) pelo polinomio (x-2)(x-4)(x-5) obtem-se resto x+3.Se os restos das divisoes de p(x) por x-2,x-4 e x-5 sao,respectivamente,os numeros A,B e C,entao ABC vale:
a)100
b)180
c)200
d)280
e)360

Answer 1

Uma divisão pode ser escrita da seguinte forma:

∴Divisor. Quociente + Resto = Dividendo

  ∫D.Q + R = d

Por exemplo, 8 dividido por 3:

8    ∫ 3               Obtivemos:

-6      2                        Dividendo(d):8                Divisor(D): 3

2                                 Resto(R):2                   Quociente(Q):2

Prova real da forma que mostrei ao início:

$D. Q + R = d\\ 3.2 + 2 = 8\\ 6 + 2 = 8\\ 8 = 8$

A partir dessa demonstração, o polinômio não é diferente, sua divisão também é representada por:

D(X) . Q(X) + R(X) = d(x)

∵No enunciado o exercício ele diz que um polinômio p(x) é dividido por (x-2)(x-4)(x-5) restando x+3 ∴

Para o enunciado da questão e a teoria apresentada, temos de maneira análoga:

P(x) = Dividendo [d(x)]

(x-2)(x-4)(x-5) = Divisor [D(X)]

(x+3) = Resto [R(X)]

Incógnita = Quociente [Q(x])

Então, esse polinômio pode ser escrito como:

$\\d(x) = D(X) . Q(X) + R(X) \\ p(x) = (x-2)(x-4)(x-5).Q(x) + (x+3)$

Continuando a trabalho, é dito que

p(x) dividido por (x-2) o resto será A

p(x) dividido por (x-4) resto B

p(x) dividido por (x-5) resto C

Isto pode ser escrito como:

$p(x) = Q_{1}(x).(x-2) + A\\p(x) = Q_{2}(x).(x-4) + B\\p(x) = Q_{3}(x).(x-5) + C$

Bom!Analisando os dados que obtivemos, perceba que pode-se descobrir alguns valores de p(x) a partir de tentativa, vamos substituir primeiramente o 2 na primeira relação que achamos:

$p(x) = (x-2)(x-4)(x-5).Q(x) + (x+3)\\ p(2) = (2-2)(2-4)(2-5).Q(2) + (2+3)\\p(2) = (0)(-2)(-3).Q(2) + (2+3)\\p(2) = 2+ 3\\p(2) = 5$

Como o p(2) equivale a 5 , substituindo na segunda relação descobrimos que "A" vai valer 5 e :

Para p(4) "B" valendo 7

Para p(5) "C" valendo 8

Possuindo os valores de A, B e C basta multiplicar:

$A = 5\\B = 7\\C = 8\\A.B.C\\5.7.8 = 280$

Espero ter ajudado, vibração!