Question

O volume de um tetraedro regular vale 2√2/3 cm^3. Calcule a altura do tetraedro e a área de uma face.

Answer 1

Boa noite Bruno!

Bruno! O único dado que temos é o volume do tetraedro,portanto vamos ter que achar o valor de a para estar encontrando a altura e a área da face.

$Volume= \frac{ 2\sqrt{2} }{3}cm ^{3}$

Vamos usar três formula para determinar o que é pedido no problema.

$Area~~ da ~~base= \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}$

$Altura= \frac{a \sqrt{6} }{3}$

$V= \frac{1}{3}\times(Area~~da~~base)\times(Altura)$

Vamos neste momento substituir o valor do volume e as outras formulas dentro da
formula do volume para determinar o valor de a.

$\frac{2 \sqrt{2} }{3}= \frac{1}{3} \times( \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4})\times( \frac{a \sqrt{6} }{3)}$

Multiplicando tudo resulta.

$\frac{2 \sqrt{2} }{3} = \frac{ a^{3 \sqrt{18} } }{36}$

Decompondo a raiz quadrada de 18 em fatores primos.

$\frac{2 \sqrt{2} }{3} = \frac{ a^{3 }3 \sqrt{2} }{36}$

Simplificando 3 com 12 fica.

$\frac{2 \sqrt{2} }{3} = \frac{ a^{3 } \sqrt{2} }{12}$

Fazendo o MMC(3,12)

$24 \sqrt{2}=3 a^{3} \sqrt{2}$

$a^{3}= \frac{24 \sqrt{2} }{3 \sqrt{2} }$

$a^{3}=8$

$8=2^{3}$

$a= \sqrt[3]{2 ^{3} }$

$a=2$

Como já temos o valor de a é só substituir nas equações acima.

Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros logo.

$Area~~ da ~~base= \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}$

$Area~~ da ~~face= \frac{ 2^{2} \sqrt{3} }{4}$

$Area~~ da ~~face =\sqrt{3} ~cm^{2}$


$Altura= \frac{a \sqrt{6} }{3}$

$Altura= \frac{2 \sqrt{6} }{3} cm^{2}$

$\boxed{ Resposta: Altura= \frac{2 \sqrt{6} }{3} cm^{2} ~~ Area~~ da ~~face =\sqrt{3} ~cm^{2} }$

Boa noite!
Bons estudos!