Question

Sendo x, y ez números naturais positivos, tais que:
xyz + xy + xz + yz + x + y + z = 1 000
Qual é o valor de x + y + z?
(A) 1 000

(B)720

(C)31​

Answer 1

Nas condições dadas, temos $\mathsf{x+y+z=28.}$

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É dado que $\mathsf{xyz+xy+xz+yz+x+y+z=1000}$ e pede-se o valor de $\mathsf{x+y+z.}$

De início vamos fatorar a expressão do lado esquerdo. Observe:

$\mathsf{xyz+xy+xz+yz+x+y+z=1000} \\</p><p>\mathsf{xy(z+1) +z(x+y) +(x+y) +z=1000}\\</p><p>\mathsf{xy(z+1)+(z+1)(x+y)+z=1000}</p><p>$

Vamos somar 1 a ambos os membros da equação:

$\mathsf{xy(z+1)+(z+1)(x+y)+z+ 1=1000+1}\\</p><p>\mathsf{xy(z+1)+(z+1)(x+y)+1 \cdot (z+1)=1001}\\</p><p>\mathsf{(z+1)(xy+x+y+1)=1001}\\</p><p>\mathsf{(z+1)[x(y+1)+y+1]=1001}\\</p><p>\mathsf{(z+1)[x(y+1)+1\cdot (y+1)]=1001}\\</p><p>\mathsf{(z+1)(x+1)(y+1)=1001}</p><p>$

Como $\mathsf{1001= 7 \cdot 11 \cdot 13,}$ temos $\mathsf{z+1= 7, x+1= 11}$ e $\mathsf{y+1=13.}$

Daí,

$\mathsf{(z+1) + (x+1)+(y+1) = 7+11+13}\\</p><p>\mathsf{(z+1) + (x+1)+(y+1) = 31}\\</p><p>\mathsf{z+x+y +1+1+1= 31}\\</p><p>\mathsf{z+x+y +3= 31}\\</p><p>\mathsf{z+x+y = 31-3}\\</p><p>\fbox{\mathsf{x+y+z = 28.}}\\</p><p>$

Logo, a resposta procurada é 28.