Question

Responda o exercício acima sobre dízimas periódicas.​

Answer 1

Resposta:

Sim

Explicação passo-a-passo:

Se a representação decimal de p tem período 2k, então para algum número N temos:

$\dfrac 1p = \dfrac N {10^{2k}} + \dfrac N{10^{4k}} + \cdots =\dfrac N{10^{2k}-1} \implies pN = 10^{2k} -1$   ( I )

Ou seja, 10^(2k) -1 é múltiplo de p. Além disso, 2k é o menor número com essa propriedade, pois é o período. Em particular 10^k -1 não é múltiplo de p. Como temos

$10^{2k} - 1 = (10^k -1)(10^k + 1)$

Segue que $10^k + 1$ é múltiplo de p. Então considere os números:

$A = \dfrac{10^k+1 - p}{p} \qquad \textrm{ e } \qquad B = \dfrac{10^k(p - 1) -1}{p}$

A soma desses números é $10^k - 1$ e eles são inteiros pois $10^k + 1$ é múltiplo de p. Além disso vale que:

$10^k A + B = 10^k\dfrac{10^k - p + 1}{p} + \dfrac{10^k (p-1) -1}{p} =\dfrac{10^{2k} -1}{p}$

Ou seja

$\dfrac 1{p} =\dfrac{10^k A + B}{10^{2k} -1}$

Como A e B tem no máximo k dígitos, acrescentando zeros se necessário, segue que a concatenação de A e B são exatamente os digitos que se repetem na representação decimal de P. Ou seja, comparando com a equação ( I ) temos $N = 10^k A + B = AB$ e vale que $A + B = 10^k -1$. Portanto, a afirmação é verdadeira.