Question

Um dos modelos para o crescimento de uma população baseia-se na hipótese de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Essa hipótese é razoável para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças). Fonte: STEWART, James. 7. ed. Pg 526. Em muitos casos essa taxa de variação da população pode ser determinada através de equações diferenciais. Considere que uma população de uma determinada bactéria cresça segundo a função: ​Qual é a sua solu�ão geral da equação descrita? y'+1/X.Y=X²

Answer 1

Utilizando metodo de equações exatas, temos que nossa equação de resultado é dada por:

$xy-\frac{1}{4}x^4+C=0$

Explicação passo-a-passo:

Então temos que a equação diferencial que nos da o modelo de crescimento desta população é de:

$y'+\frac{1}{x}y=x^2$

Vamos primeiramente multiplicar toda a equação por x:

$xy'+y=x^3$

E rearranjar ela da seguinte forma:

$y-x^3+xy'=0$

Note que agora ela esta no forma de uma equação exata:

$M+Ny'=0$

Para ela ser de fato exata é necessario que:

$\frac{dM}{dy}=\frac{dN}{dx}$

Então fazendo estas derivadas:

$\frac{dM}{dy}=1$

$\frac{dN}{dx}=1$

Assim temos que de fato estas derivadas são iguais logo, esta é uma equação exata, então podemos escrever ela da seguinte forma:

$F(x,y)=0$

Tal que:

$\frac{dF}{dx}=M$

$\frac{dF}{dy}=N$

Então integrando M e N para encontrarmos a função original F:

$\frac{dF}{dx}=M=y-x^3$

$F=xy-\frac{1}{4}x^4+C(y)$

Onde C é uma constante de integraçã oque depende de y, pois integramos em x.

Derivando este resultado em y ele deve ser igual a N, pois a derivada de F em y é N:

$F=xy-\frac{1}{4}x^4+C(y)$

$\frac{dF}{dy}=x+C'(y)=N=x$

Assim comparando estas equações temso que C' é 0, logo, C é uma constante, então nossa função final é:

$F=xy-\frac{1}{4}x^4+C$

E como a equação é igualada a 0, nossa equação de resultado é dada por:

$xy-\frac{1}{4}x^4+C=0$