Respostas
Resposta:
Perímetro = 12 (1 + √3)
Explicação passo-a-passo:
O perímetro de uma figura é a soma de todos os seus lados. Ou seja, o perímetro desse triângulo é:
Perímetro = AB + BC + AC
Para isso, vamos usar algumas relações trigonométricas:
- senA = cateto oposto / hipotenusa
- cosA = cateto adjacente / hipotenusa
- tan A = cateto oposto/ cat. adjacente
Bom, precisamos achar os lados BC e AC.
I - ENCONTRANDO AC
Podemos encontrar AC achando o cateto adjacente ao ângulo de 30° e achando o cateto adjacente ao ângulo de 60°. Somando os dois, vamos obter AC.
- 30°
Como temos a hipotenusa e queremos descobrir o cateto adjacente (CA), vamos usar a relação cosseno:
cos 30° = CA / 12
CA = cos30° × 12
Lembre que: cos30° = √3/2 (Veja a tabelinha anexada)
CA = √3/2 × 12
- CA = 6√3 cm
- 60°:
Ops! Não temos nenhum dos lados. Bem, mas podemos descobrir a altura do triângulo ABC e chegar através dela ao cateto adjacente.
Note que a altura é o cateto oposto ao ângulo de 30°. Logo:
sen30° = CO / 12
CO = sen30° × 12
Lembre: sen30° = 1/2
CO = 1/2 × 12
CO = 6 cm
Note que o cateto oposto é comum aos dois triângulos retângulos dentro de ABC. Com ele, podemos descobrir o cateto adjacente a 60°, através da relação de tangente:
tan 60° = 6 / CA
CA = 6/tan 60°
CA = 6/√3
racionalizando:
CA = 6/√3 × √3/√3
CA = 6√3/3
- CA = 2√3 cm
Somando as duas:
AC = 6√3 + 2√3
- AC = 8√3 cm
II - ENCONTRANDO BC
Bom, temos os outros lados, só precisamos descobrir BC. Para isso, podemos utilizar qualquer um dos outros lados para descobri-lo.
cos 60° = cateto adjacente / hipotenusa
hipotenusa = cateto adjacente /cos60°
cateto adjacente = 2√3
cos 60° = 1/2 = 0,5
Logo:
hipotenusa = 2√3 / 0,5
hipotenusa = 4√3 cm
Como:
hipotenusa = BC
- BC = 4√3 cm
III - PERÍMETRO
Perímetro = AB + BC + AC
onde:
AB = 12 cm
BC = 4√3 cm
AC = 8 √3 cm
Perímetro = 12 + 4√3 + 8√3
Perímetro = 12 + 12√3
Perímetro = 12 (1 + √3)
