Question

Integração por partes:
$\int\ cos(3x+7).cos(x) \, dx$

Answer 1

Para a resolução caber no Brainly, chame cos(3x+7) . cos(x) de f(x):

$\boxed{\int cos(3x+7)\cdot cos(x)dx=\int f(x)dx}$
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Resolvendo por partes:

$u=cos(3x+7)~~~~~~~~~~~~du=-3\cdot sen(3x+7)dx~~~~~(regra~da~cadeia)\\v=sen(x)~~~~~~~~~~~~~~~~~~dv=cos(x)dx~\\\\\\\int f(x)dx=uv-\int vdu\\\\\int f(x)dx=sen(x)\cdot cos(3x+7)-\int sen(x)\cdot(-3)\cdotsen(3x+7)dx\\\\\boxed{\int f(x)dx=sen(x)\cdot cos(3x+7)+3\int sen(3x+7)\cdot sen(x)dx}$
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Agora, vamos usar integração por partes na integral da direita:

$\int sen(3x+7)\cdot sen(x)dx=\int g(x)dx\\\\u=sen(3x+7)~~~~~~~~~~~~du=3\cdot cos(3x+7)dx\\v=-cos(x)~~~~~~~~~~~~~~~~~dv=sen(x)dx\\\\\int g(x)dx=uv-\int vdu\\\\\int g(x)dx=-cos(x)\cdot sen(3x+7)-\int (-1)cos(x)\cdot3cos(3x+7)dx\\\\\int g(x)dx=-cos(x)sen(3x+7)+3\int cos(3x+7)cos(x)dx\\\\\boxed{\int g(x)dx=-cos(x)sen(3x+7)+3\int f(x)dx}$
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Voltando pra expressão:

$\int f(x)dx=sen(x)\cdot cos(3x+7)+3\int sen(3x+7)\cdot sen(x)dx\\\\\int f(x)dx=sen(x)\cdot cos(3x+7)+3\int g(x)dx$

Substituindo a integral da direita pela encontrada acima:

$\int f(x)dx=sen(x)\cdot cos(3x+7)+3(-cos(x)sen(3x+7)+3\int f(x)dx)\\\\\int f(x)dx=sen(x)cos(3x+7)-3cos(x)sen(3x+7)+9\int f(x)dx\\\\\int f(x)dx-9\int f(x)dx=sen(x)cos(3x+7)-3cos(x)sen(3x+7)\\\\-8\int f(x)dx=sen(x)cos(3x+7)-3cos(x)sen(3x+7)\\\\\\\boxed{\boxed{\int f(x)dx=\dfrac{3}{8}cos(x)sen(3x+7)-\dfrac{1}{8}sen(x)cos(3x+7)+C}}$
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Existe um jeito muito mais fácil de se resolver esse tipo de integral

Se lembrar da fórmula:

$cos(a)\cdot cos(b)=\frac{1}{2}(cos(a+b)+cos(a-b))$
_______

$cos(3x+7)\cdot cos(x)=\frac{1}{2}(cos(3x+7+x)+cos(3x+7-x))\\\\\boxed{cos(3x+7)\cdot cos(x)=\frac{1}{2}(cos(4x+7)+cos(2x+7))}$

Então:

$\int cos(3x+7)\cdot cos(x)dx=\int\frac{1}{2}(cos(4x+7)+cos(2x+7))dx\\\\\int cos(3x+7)\cdot cos(x)dx=\frac{1}{2}\int cos(4x+7)+cos(2x+7)dx\\\\\int cos(3x+7)\cdot cos(x)dx=\frac{1}{2}\int cos(4x+7)dx+\frac{1}{2}\int cos(2x+7)dx$

Podemos resolver as duas integrais com substituição de variáveis.

Fazendo isso, chegaremos em:

$\int cos(4x+7)dx=\frac{1}{4}sen(4x+7)+C_{1}\\\\\int cos(2x+7)dx=\frac{1}{2}sen(2x+7)+C_{2}$

Então:

$\int cos(3x+7)\cdot cos(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}sen(4x+7)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}sen(2x+7)+C\\\\\\\boxed{\boxed{\int cos(3x+7)\cdot cos(x)dx=\dfrac{1}{8}sen(4x+7)+\dfrac{1}{4}sen(2x+7)+C}}$

P.S: Os resultados são os mesmos, apenas escritos de maneira diferente.

Answer 2

Segue anexo,

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Obrigado pela oportunidade 
Boa sorte
SSRC - 2015 
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