Question

'o custo para produzir x unidades de um certo produto é C(x)=x^/3+4x+53 reais e o número de unidades produzidas em t horas de trabalho é x(t)=0,2t^+0,03t unidades.Qual é taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho?'

Answer 1

Taxa de variação é conhecida como custo marginal, que significa o custo para produzir uma unidade adicional de um certo produto.

Primeiro vamos encontrar a quantidade de unidades produzidas para o período de 4 horas:

$x_{(t)}=0,2t^2+0,03t\\\\ x_{(4)}=0,2(4)^2+0,03(4)\\\\ x_{(4)}=0,2(16)+0,03(4)\\\\ x_{(4)}=3,2+0,12\\\\ x_{(4)}=3,32\ unidades$


Derivando a função custo, teremos a função custo marginal, que calculará a taxa de variação:

$Fun\c{c}\~ao\ custo:\\\\ C_{(x)}=\frac{x^2}{3}+4x+53\\\\\\ Custo\ Marginal\ (derivada\ ou\ taxa\ de\ varia\c{c}\~ao):\\\\ C_{mg(x)}=\frac{(2)x^{(2-1)}}{3}+(1)4x^{(1-1)}+0\\\\ \boxed{C_{mg(x)}=\frac{2x}{3}+4}\\\\\\\\ Calculando\ para\ x=3,32:\\\\ C_{mg(3,32)}=\frac{2(3,32)}{3}+4\\\\ C_{mg(3,32)}=\frac{6,64}{3}+4\\\\ \boxed{\boxed{C_{mg(3,32)}\approx R\ \ 6,21}}$


Espero ter ajudado.
Bons estudos!

Answer 2

Supondo que seja assim os dados:

╠> função custo → C(x) = x² / 4x + 56

╠> função unidades de peças produzidas a cada hora x(t) = 0,2 t² + 0,03 t

Resolvendo:
▲ A Taxa de Variação de Custo é dada por DERIVADA PRIMEIRA de C(x)
Regra do quociente: (f/g)' = (f' g - g' f) / g²
C'(x) = (2x (4x +56) - 4x² ) / (4x + 56 )²
C'(x) = (8x² + 112x - 4x²)  / [4(x + 14)]² 
C'(x) = -4x² + 112x /16(x + 14)² = -x² +28 / 4(x +14)²
C'(x) =  -x² +28 / 4(x +14)²  → Taxa de Variação de Custo ( * )
▲Após Quatro Horas (para t = 4 tempo inicial da questão)
 x(t) = 0,2 t² + 0,03 t → x(4) = 0,2 (16) + 0,03 (4) = 3,2 + 0,12 = 3,32
Em 4 horas se produz 3,32 peças.
Substitua este valor na função ( * ) e veja o valor do custo.
C'(x) =  -x² +28 / 4(x +14)²
C'(3,32) =  -3,32² +28 / 4(3,32 +14)² = 0.0141488 Reais

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Obrigado pela oportunidade 
Boa sorte!
SSRC - 2015 
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