Question

Limites - Obter os reais a, b, c e d​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Oi Isabela,

Eu pensei em uma maneira de resolver esse problema, mas eu não tenho a certeza de que a minha resolução estará matematicamente correta.

A minha primeira observação foi de que o limite de f quando x tende ao infinito não tinha sentido nenhum sendo igual a 1, já que o maior expoente do numerador e denominador são diferentes, mas como o limite é igual a 1 significa que o numerador é igual ao denominador, logo, para valores de x muito grandes

ax³ + bx² + cx + d = x² + x - 2

Aqui nos temos uma equivalência de polinômios, onde dois ou mais polinômios são idênticos quando os coeficientes dos termos correspondentes são iguais.

No lado direito da igualdade não existe um termo com x³, logo podemos afirmar pela equivalência de polinômios que a = 0.

Então, a nova igualdade fica assim:

bx² + cx + d = x² + x - 2

Agora concluímos que

b = 1

c = 1

d = -2

Para garantir que os valores estão certos, vamos calcular o limite de f com os valores definidos aqui quando x -> 1

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{0x^3 + 1x^2+1x-2}{x^2+x-2}=\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2+x-2}{x^2+x-2}=\displaystyle\lim_{x \to 1}1=1$

Espero ter ajudado e qualquer dúvida é só mandar nos comentários.

Answer 2

Resposta:

a = 0, b = 1, c = -2, d = 1

Explicação passo-a-passo:

Primeiro observamos o seguinte. Se o grau do polinômio p(x) é maior que o grau do polinômio q(x) então o limite

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{p(x)}{q(x)}$

Só pode ser infinito ou menos infinito. Isso quer dizer que na sua questão devemos ter a = 0. Pra não ficar parecendo que eu roubei, vamos mostrar isso no problema. Fatorando x² no numerador e denominador o limite do problema fica:

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \, \dfrac{ax + b + \dfrac cx+ \dfrac d{x^2}}{1 + \dfrac 1x - \dfrac 2{x^2}}$

Note que se a não for zero, o numerador tende a infinito, e o denominador a 1. Dai para que esse limite seja finito, a unica possibilidade é a = 0. E nesse caso temos:

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \, \dfrac{ b + \dfrac cx+ \dfrac d{x^2}}{1 + \dfrac 1x - \dfrac 2{x^2}} = b$

Logo para o limite ser 1, devemos ter b = 1.

Agora vamos analisar o limite tendendo a 1, já usando que a = 0 e b = 1. Ai temos:

$\displaystyle \lim _{x \to 1} \dfrac{x^2 + cx + d}{x^2 - x -2}$

Observamos que o numerador tende a 1+c+d e o denominador tende a 0. Ou seja, se 1 + c + d não for zero, o limite sera infinito. Então devemos ter  1+c+d = 0 pois não queremos isso. Isso quer dizer que 1 é uma raiz do numerador. Podemos portanto fatorá-lo como algo da forma:

x² + cx + d = (x-1)(x+R)  ( I )

onde -R é uma raiz que não conhecemos. E para o denominador temos

x² - x - 2 = (x-1)(x+2)

Assim, o limite fica:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+R)}{(x-1)(x+2)} = \lim_{ x \to 1 }\dfrac{x+R}{x+2} = \dfrac{R+1}{3}$

Portnato para esse limite ser zero, é necessário que R = -1. Voltando a equação ( I ) encontramos c e d:

x² + cx + d = (x-1)(x-1) = x²-2x+1

Portanto c = -2 e d = 1

Assim a resposta é a = 0, b = 1, c = -2 e d = 1