Question

(Algébra)Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M(R):
a) subespaços das matrizes simétricas;
b) subespaços das matrizes anti-simétricas;
c) subespaços das matrizes A tais que A = 2A^t;

Answer 1

Resposta:

Para matrizes nxn:

a) (n²+n)/2

b) (n²-n)/2

c) 0

d) n²-1

Explicação passo-a-passo:

Uma forma de achar a dimensão de um subespaço é encontrar uma base.

Vou fazer para matrizes 3x3 porque é bem chato o latex para matrizes maiores. Mas é basicamente a mesma coisa.

a) No caso, se M é a matriz

$M = \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]$

Para M ser simétrica, deve ser igual a sua composta. Isso implica que  b = d, g = c e h = f. Ou seja, se M é simétrica ela pode ser escrita como combinação linear das matrizes:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right]$

De fato, chamando as matrizes acima de A,E,I, B,C,F nessa ordem, segue que

M = aA + bB + cC + eE + fF + iI

Logo, essas matrizes (que são LI) formam uma base do subespaços das matrizes simétricas. Pra matrizes 3x3 a dimensão é 6. Pra matrizes nxn a dimensão será

dim = n + (n²-n)/2 = n(n+1)/2

O n é proveniente dos n elementos das diagonais. O (n²-n)/2 provem das n²-n entradas retirando-se as diagonais e dividindo por 2, pois a base é formada por pares.

b) O conjunto das matrizes antisimétricas e das simétricas são uma soma direta. Isso quer dizer que a dimensão das anti-simétricas será a dimensão das simericas subtraido de n². Ou seja

dim = n² - (n²+n)/2 = n(n-1)/2

Você também pode achar a dimensão explicitando a base.

c) Na matriz M do item a), a condição M = 2M^t impoe as restrições:

a = 2a, e = 2e, i = 2i

b = 2d, c = 2g, f = 2h

d= 2b, g = 2c, h = 2f

Isso implica que a=b=c=d=e=f=g=h=i = 0. Ou seja, a unica matriz nesse subespaço é a matriz nula. Portanto sua dimensão é 0.

d) A restrição imposta por esse subespaço é que a+b+c+d+e+f+g+h+i = 0.

Ou seja, i = - (a+...+h). Assim, qualquer matriz nesse subespaço é combinação das seguintes:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&-1\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&-1\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&1&-1\end{array}\right]$

Logo a dimensão será n²-1