Question

Se n^k=n^p ,então, obrigatoriamente:
a) k = p b) k + p = n c) k = n d) k = p = n/2 e) k = p ou k + p = n

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{E}}$

Explicação passo-a-passo:

João, esse tipo de igualdade pode ser percebida no Triângulo Aritmético (de Pascal)! Trata-se dos elementos equidistantes dos extremos. Eles são iguais!!

Caso I: $\displaystyle \boxed{\mathtt{k = p}}$

Fácil perceber que a igualdade é verdadeira. Note,

$\\ \displaystyle \mathsf{\binom{n}{k} = \binom{n}{p}} \\\\\\ \mathsf{\binom{n}{k} = \binom{n}{k}, \quad \forall n, p, k \in \mathbb{N}}$

Caso II: $\displaystyle \boxed{\mathtt{k \neq p}}$

De acordo com o exposto inicialmente,

$\\ \displaystyle \mathsf{\binom{n}{k} = \binom{n}{p}} \\\\\\ \mathsf{\Rightarrow \boxed{\mathsf{k + p = n}}, \quad \forall n, p, k \in \mathbb{N}}$