Question

seja e igual (i, j, k) uma base ortonormal. sendo u=1/raiz3 (i, j, k), v= 1/raiz2 (j + k) e w=1/raiz6 (2i - j+ k), prove que F=(u,v,w) é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor a=3i-2j-k em relação á base F.

Answer 1

Para mostrar que F = {u,v,w}  é uma base ortonormal, basta calcular o produto escalar de cada um dos elementos de F e verificar que

u·u = v·v = w·w = 1           ( I )

u·v = v·w = u·w = 0

(Estou usando o símbolo · para representar o produto escalar (ou interno)). Nesse problema sabemos que  {i,j,k} é base ortonormal. Ou seja,

i·i = j·j = k·k = 1                ( II )

i·j = j·k = i·k = 0

Agora vamos só usar as propriedades operatórias do produto escalar e as relações ( II ) para provar ( I ). Note primeiro que temos:

(i+j-k)·(i+j-k) = i·i + i·j - i·k + j·i + j·j - j·k - k·i - k·j + k·k

O produto acima parece grande, mas a maioria é zero (só sobra i com i, j com j e k com k) por ( II ):

(i+j-k)·(i+j-k) = i·i + j·j + k·k = 3

Isso implica que

$u \cdot u = \dfrac{1}{\sqrt 3} (i + j - k) \cdot \dfrac 1{\sqrt 3}(i+j-k) = \dfrac 13 (i+j - k)\cdot (i+j-k) = 1$

De maneira similar temos

(j+k)·(j+k) = j·j + k·k  = 2

(2i-j+k )·(2i-j+k) = 4i·i + j·j + k·k = 6

Com isso concluímos que v·v = w·w = 1

Ainda sabemos que

(i+j-k)·(j+k) = j·j - k·k = 0

(j+k)·(2i-j+k) = -j·j + k·k = 0

(i+j-k)·(2i-j+k) = 2i·i - j·j - k·k = 0

Isso implica que u·v = v·w = u·w = 0

Com isso concluímos que {u,v,w} é base ortonormal

Para calcular as coordenadas de a na base {u,v,w} basta calcular o produto escalar de a por cada elemento da base (isso só funciona em bases ortonormais). Ou seja, vale que

a = (a·u)u + (a·v)v + (a·w)w

Assim temos

a·(i+j-k) = 3i·i -2j·j + k·k = 2

a·(j+k) =  -2j·j - k·k = -3

a·(2i-j+k) = 6i·i +2j·j - k·k = 7

Portanto:

   $\boxed{a \cdot u = \dfrac{2}{\sqrt 3} }\quad \quad\quad \boxed{a \cdot v = - \dfrac 3{\sqrt 2} }\quad\quad \quad \boxed{a\cdot w = \dfrac{7}{\sqrt 6}}$

Ou seja, essas são as coordenadas de a na base F.