Question

Se a² = a + 2 então, a³ é igual a?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Note que:

a² = a + 2

a² - 2 = a

a = a² - 2

(a)³ = (a² - 2)³

a³ = (a²)³ - 3(a²)² × 2 + 3a² × 2² - (2)³

${a}^{3} = {a}^{6} - 6 {a}^{4} + 12 {a}^{2} - 8$

Se você queria só a expressão, essa é a resposta :)

Mas, provavelmente, você queria mesmo é o valor de a³, né?

Vamos voltar a nossa equação original:

• a² = a + 2

a² - a - 2 = 0

Agora, podemos usar Bhaskara:

∆ = (-1)² - 4 × 1 × -2

∆ = 1 + 8

∆ = 9

a = (-(-1) ± √9) / 2 × 1

a = (1 ±3)/2

a' = (1+3)/2 = 4/2 = 2

a" = (1-3)/2 = -2/2 = -1

então, a³ tem dois valores possíveis:

a³ = (2)³ = 8

a³ = (-1)³ = -1

Answer 2

Antes de tudo, perceba que o exercício nos fornece a seguinte equação quadrática na incógnita a:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\longrightarrow\ a^2=a+2}\end{array}$

Dessarte, ele deseja encontrar, ainda em função de a, a expressão algébrica equivalente ao seguinte monômio cúbico:

$\large\begin{array}{L}\mathsf{\longrightarrow\ a^3}\end{array}$

Para isso, faz-se necessário expandir (abrir em fatores) o monômio acima, e posteriormente utilizar a informação (igualdade) dada no início desta resolução. Procedendo tal como descrito anteriormente, obtém-se:

$\large\begin{array}{L}\mathsf{\quad\ \ \ \:a^3=\underbrace{\mathsf{\,a^2}}_{a+2}\cdot\ \: a}\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff \quad a^3=(a+2)\cdot\, a}\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\! \iff\quad a^3=\underbrace{\mathsf{\,a^2}}_{a+2}+\ 2a}\\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\iff\quad a^3= a+2+2a}\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad a^3=a+2a+2}\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iff\quad a^3=3a+2}\end{array}$

Resposta final:

$\boxed{\boxed{\boxed{\Large\begin{array}{L}\mathsf{a^3=3a+2}\end{array}}}}$

Um grande abraço!