Question

Recompensa: 100 pontos.

Gincana da tarde.

1) Racionalize a seguinte expressão:
$\frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5 } + 2}$
2) Um número real y é tal que:
$\frac{y + 1}{y + 5} = \frac{y + 2}{y - 2}$
Qual é o valor numérico da expressão:
$\sqrt{y {}^{2} + 4 }$
a) 0
b) -5
c) 3/2
d) 5/2
e) 8

Boa sorte ksksk.
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) Multiplicando pelo conjugado no numerador e denominador:

$\dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{5} +2} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} +2)(\sqrt{5} -2)} = \dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{5} -2\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \dfrac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{5-4} = \sqrt{10}-2\sqrt{2}$

2) Multiplicando cruzado e fazendo a propriedade distributiva:

$\dfrac{y+1}{y+5} = \dfrac{y+2}{y-2}$

$(y+1)(y-2) = (y+2)(y+5)\\y^2 -2y+y-2 = y^2+5y+2y+10\\-y - 2 = 7y + 10\\-8y = 12\\y = \dfrac{-3}{2}$

$\sqrt{\dfrac{(-3)^2}{2^2} + 4} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + 4} = \sqrt{\dfrac{9+4.4}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5 }{2}$

LETRA D

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Expressões algébricas :

A) Racionalizar a Expressão :

$\mathsf{\dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} + 2} }$

para racionalizar uma Expressão , basta multiplica-la pelo quociente do conjugado do seu denominador , ou seja :

$\mathsf{B~=~\dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} + 2 } . \dfrac{ \sqrt{5} - 2 }{ \sqrt{5} - 2 } }$

Perceba que :

(a + b)(a - b) = a² - b² , então no denominador vamos ter que :

$\mathsf{ B ~=~ \dfrac{\sqrt{2} \Big( \sqrt{5} - 2 \Big) }{ (\sqrt{5})^2 - 2^2 } }$

$\mathsf{ B~=~ \dfrac{ \sqrt{2.5} - 2.\sqrt{2} }{5 - 4 } ~=~ \dfrac{ \sqrt{10} - 2\sqrt{2} }{ 1} }$

$\mathsf{ \red{ B~=~ \sqrt{10} - 2\sqrt{2} } }$

______________________________________________

B)

Um número real y , tal que :

$\mathsf{ \dfrac{ y + 1 }{ y + 5} ~=~ \dfrac{ y + 2 }{y - 2 } }$ , Determinar o valor numérico de :

$\mathsf{ \sqrt{ y^4 + 4 } }$

Primeiramente vamos achar o y , de acordo com a Expressão dada :

$\mathsf{ \Big(y + 1\Big) \Big( y - 2 \Big)~=~ \Big(y + 2 \Big) \Big( y + 5 \Big) }$

$\mathsf{y^2 - 2y + y - 2~=~y^2 + 5y + 2y + 10 }$

$\mathsf{\cancel{y^2} - y - 2~=~\cancel{y^2} + 7y + 10 }$

$\mathsf{ 7y + y + 2 + 10 ~= ~0 }$

$\mathsf{8y~=~-12~\to y~=~-\dfrac{12}{8} }$

$\mathsf{ \red{ y~=~ -\dfrac{3}{2} } }$

Tendo achado o y , vamos pegar na expressão na qual é exatamente a nossa questão , e vamos nela substituir o y :

$\mathsf{ \sqrt{ y^4 + 4 } ~=~ \sqrt{ \Big( -\dfrac{3}{2} \Big)^2 + 4} }$

$\mathsf{ \sqrt{y^2 + 4}~=~\sqrt{ \dfrac{9}{4} + 4} }$

$\mathsf{ \sqrt{y^2 + 4} ~=~ \sqrt{ \dfrac{9 + 16}{4} } }$

$\mathsf{ \sqrt{ y^2 + 4}~=~\sqrt{ \dfrac{25}{4} }~=~\green{ \dfrac{5 }{2} } }$

Espero ter ajudado bastante!)