Question

Na figura abaixo o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Assim, o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC. Calculando a soma das medidas dos lados AB, AC e DE dos dois triângulos, admitindo que a unidade adotada seja o centímetro, você obtém:

Answer 1

Perceba, pela edição feita na figura (anexo), que o angulo A é comum aos dois triângulos (ADE e ABC),  que os ângulos B e D são congruentes (iguais) e que os ângulos C e E são congruentes.

Podemos então escrever 3 relações entre as medidas dos dois triângulos.

Vamos mostra-las para, depois, decidir quais utilizar.

$(1)~~~\dfrac{^{~Lado~Oposto~a~\hat{A}}_{no~Triangulo~ABC}}{^{~Lado~Oposto~a~\hat{A}}_{no~Triangulo~ADE}}~~=~~\dfrac{^{~Lado~Oposto~a~\hat{B}}_{no~Triangulo~ABC}}{^{~Lado~Oposto~a~\hat{D}}_{no~Triangulo~ADE}}~~\rightarrow~~\boxed{\dfrac{BC}{DE}~=~\dfrac{AC}{AE}}$

$(2)~~~\dfrac{^{~Lado~Oposto~a~\hat{A}}_{no~Triangulo~ABC}}{^{~Lado~Oposto~a~\hat{A}}_{no~Triangulo~ADE}}~~=~~\dfrac{^{~Lado~Oposto~a~\hat{C}}_{no~Triangulo~ABC}}{^{~Lado~Oposto~a~\hat{E}}_{no~Triangulo~ADE}}~~\rightarrow~~\boxed{\dfrac{BC}{DE}~=~\dfrac{AB}{AD}}$

$(3)~~~\dfrac{^{~Lado~Oposto~a~\hat{B}}_{no~Triangulo~ABC}}{^{~Lado~Oposto~a~\hat{D}}_{no~Triangulo~ADE}}~~=~~\dfrac{^{~Lado~Oposto~a~\hat{C}}_{no~Triangulo~ABC}}{^{~Lado~Oposto~a~\hat{E}}_{no~Triangulo~ADE}}~~\rightarrow~~\boxed{\dfrac{AC}{AE}~=~\dfrac{AB}{AD}}$

Precisamos do valor de "x" para responder o que é pedido na questão, logo podemos começar utilizando a relação (3):

$\dfrac{AC}{AE}~=~\dfrac{AB}{AD}\\\\\\Substituindo~pelos~dados~fornecidos~na~figura\\\\\\\dfrac{6+(x-1)}{6}~=~\dfrac{9+(x+1)}{9}\\\\\\\dfrac{5+x}{6}~=~\dfrac{10+x}{9}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\9\cdot(5+x)~=~6\cdot(10+x)\\\\\\45+9x~=~60+6x\\\\\\9x-6x~=~60-45\\\\\\3x~=~15\\\\\\x~=~\dfrac{15}{3}\\\\\\\boxed{x~=~5~cm}$

Note que será necessário também o valor do lado DE. Assim, podemos utilizar relação (1) (ou a relação (2)):

$\dfrac{BC}{DE}~=~\dfrac{AC}{AE}\\\\\\Substituindo~os~dados\\\\\\\dfrac{11}{DE}~=~\dfrac{6+(x-1)}{6}\\\\\\\dfrac{11}{DE}~=~\dfrac{6+(5-1)}{6}\\\\\\\dfrac{11}{DE}~=~\dfrac{10}{6}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\11\cdot6~=~DE\cdot10\\\\\\10DE~=~66\\\\\\DE~=~\dfrac{66}{10}\\\\\\\boxed{DE~=~6,6~cm}$

Podemos agora calcular o que é pedido na questão:

$AB~+~AC~+~DE~=~(9+x+1)~+~(6+x-1)~+~6,6\\\\\\AB~+~AC~+~DE~=~(9+5+1)~+~(6+5-1)~+~6,6\\\\\\AB~+~AC~+~DE~=~15~+~10~+~6,6\\\\\\\boxed{AB~+~AC~+~DE~=~31,6~cm}$

Answer 2

Resposta:

X:5 cm

AB: 15

AC:10

DE:6,6