Question

No desenvolvimento do binômio {(a + b)}^{n + 5}, ordenado segundo as potências decrescentes de a, o quociente do (n + 3)-ésimo termo pelo (n + 1)-ésimo termo é \frac{{2b}^{2}}{{3a}^{2}}, isto é, \frac{{T}_{n + 3}}{{T}_{n + 1}} = \frac{{2b}^{2}}{{3a}^{2}}. Determine n.

Answer 1

O que é um binômio?

Na matemática, um binômio (bi: dois, nômio: nome) é uma soma ou subtração de dois termos elevados a um expoente natural. Um dos exemplos mais básicos de um binômio é o caso (x + y)¹, onde existe apenas a soma de duas incógnitas diferentes x e y, elevadas ao expoente 1.

A forma geral de um binômio, também conhecido por binômio de Newton, é:

$\large\boxed{\mathsf{(a+b)^n }}$

Com a, b números reais e n um número natural.

Qual é a relação entre um binômio e um polinômio?

Sabemos que um binômio de Newton é expresso da maneira (a+b)ⁿ. Isso significa que estamos elevando a base (a+b) ao n-ésimo expoente, ou seja, multiplicamos (a+b) por ele mesmo n vezes.  

$\mathsf{(a + b)^n = {\underbrace{\mathsf{(a+b).(a+b).(a+b). \cdots .(a+b)}}}}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{^\large{\text{\mathsf{n}}}}$

Por se tratar de uma multiplicação de somas ou subtrações de dois termos, o binômio pode ser desenvolvido de dois em dois termos, veja:

$\mathsf{(a + b)^n = \underbrace{\mathsf{(a+b).(a+b)}}.(a+b). \cdots .(a+b)}}\\\\\mathsf{(a + b)^n = \underbrace{\mathsf{(a^2+2ab+b^2).(a+b)}}. \cdots .(a+b)}}}\\\\\mathsf{(a + b)^n = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3). \cdots .(a+b)}}}$

No fim, teremos uma soma de monômios (um polinômio). Observe alguns exemplos de polinômios formados a partir de binômios de Newton.

$\mathsf{(x+y)^0 = 1}\\\\\mathsf{(x+y)^1= x + y}\\\\\mathsf{(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2}\\\\\mathsf{(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3}$

Como desenvolver um binômio rapidamente?  

Para valores de n pequenos, o processo da distributiva de dois-em-dois é funcional. No entanto, para valores grandes do expoente do binômio, esse  jogo multiplicativo se torna enfadonho e quase impossível.

É nesse sentido que a fórmula do desenvolvimento de um binômio se torna útil: para encontrar os termos do polinômio de forma prática e rápida. Independentemente de qual forma de desenvolver se escolha, o resultado sempre é o mesmo, o que muda é a ordem em que os termos aparecem.

Podemos expandir um binômio de Newton de dois modos. São eles:

   1. Desenvolvimento seguindo as potências crescentes de x.

Da esquerda para direita, os expoentes do x crescem a cada monômio.

$\large{}\boxed{\mathsf{(x+y)^n = \sum^n_{p=0}\binom np. x^{p}.y^{(n-p)}}}$

ou

   2. Desenvolvimento seguindo as potências decrescentes de x.

Da esquerda para direita, os expoentes do x decrescem a cada monômio.

$\large{}\boxed{\mathsf{(x+y)^n = \sum^n_{p=0}\binom np. x^{(n-p)}.y^p}}$

Observação: A notação (n p) se refere ao número binomial que por definição é igual à combinação da análise combinatória de n elementos tomados p a p.

Como resolver a questão?

Precisa-se encontrar o valor de n. Para isso foi fornecido que o quociente (divisão) entre o termo que aparece na posição (n+3) e o termo que aparece na posição (n+1) é:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{{2b}^{2}}{{3a}^{2}}}}$

Sabemos que o desenvolvimento foi ordenado segundo as potências decrescentes de a. Logo, utilizaremos a segunda fórmula.

$\mathsf{(a+b)^{n+5} = \sum^{n+5}_{p=0}\binom {n+5}p. a^{(n+5-p)}.b^p}\\\\\mathsf{(a+b)^{n+5} = \binom {n+5}{0}. a^{(n+5-0)}.b^0 + \cdots +\binom {n+5}{n+5}. a^{(n+5-(n+5))}.b^{(n+5)}}}}~~~~\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow$

Note que o desenvolvimento contém de 0 a n+5 monômios (indicados pela seta), o que significa que existem n+6 termos ao total. Consequentemente, o (n+3)-ésimo termo possui (n+2) como valor de p e o (n+1)-ésimo termo possui n como valor de p.

Escrevendo o termo geral em função da posição:

• (n+3)-ésimo:

$\mathsf{\binom {n+5}{n+2}. a^{(n+5-(n+2))}.b^{(n+2)}} \Rightarrow\\\\\mathsf{\frac{(n+5)!}{(n+2)!.3!}.a^3.b^{n+2}}} \Rightarrow\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{(n+5).(n+4).(n+3).a^3.b^{n+2}}{3}}}}$

• (n+1)-ésimo:

$\mathsf{\binom {n+5}{n}. a^{(n+5-n)}.b^{(n)}} \Rightarrow\\\\\mathsf{\frac{(n+5)!}{n!.5!}.a^5.b^{n}}} \Rightarrow\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{(n+5).(n+4).(n+3).(n+2).(n+1).a^5.b^{n}}{5!}}}$

Realizando o quociente entre esses termos e igualando a 2b²/3a²

$\mathsf{\dfrac{\dfrac{(n+5).(n+4).(n+3).a^3.b^{n+2}}{3!}}{\dfrac{(n+5).(n+4).(n+3).(n+2).(n+1).a^5.b^n}{5!}} = \dfrac{2b^2}{3a^2}} \Rightarrow\\\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{\dfrac{b^{2}.5!}{(n+2).(n+1).a^2.3!} = \dfrac{2b^2}{3a^2}} \Rightarrow\\\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{\dfrac{5.4}{(n+2).(n+1)} = \dfrac{2}{3}~\Rightarrow n^2+3n-28 = 0 \therefore~\boxed{\mathsf{n = 4}}}}$

Qual é a resposta?

No final da questão, caímos em uma equação do segundo grau cujas raízes são n = 4 e n = -7. Como em um binômio, o expoente é natural, então o único valor admissível para n é o valor 4, pois ele é natural.

$\Large{\boxed{\boxed{\mathsf{n = 4}}}$

Aprenda mais sobre binômio de Newton

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