Question

Álgebra Linear
Tendo a transformação linear a seguir, determine as bases do núcleo e imagem.

T : R 2 → R 3 , T(x, y) = (x + y, x − y, x);

Answer 1

Resposta:

Imagem:  { (1,1,1), (0,-2,-1) }

núcleo:  { }

Explicação passo-a-passo:

Imagem:

Dessa vez vou fazer usando escalonamento, pois pensando bem isso é mais didático.

T(x,y,z) = (x+y, x-y, x) = x(1,1,1) + y (1,-1,0)

Assim a imagem é gerada por {(1,1,1), (1,-1,0)}

Pra descobrir uma base, precisamos que seja LI. Nesse caso da pra ver de cabeça que são, mas o procedimento geralmente usado é colocar os vetores em linhas de uma matriz e escalonar (por linhas):

$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\0 & -2 & -1 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{array} \right]$

Já é suficiente parar na segunda. A propriedade importante do escalonamento (por linhas) é que ela não altera o espaço gerado pelas linhas. Isso quer dizer que o espaço gerado pelos conjuntos abaixo é o mesmo

{ (1,1,1), (1,-1,0) }, { (1,1,1), (0,-2,-1) }, { (1,1,1), (0,1,1/2) }, { (1,0,1/2), (0,1,1/2) }

Outra propriedade importante é que quando a matriz está escalonada (não precisa ser reduzida, serve a segunda, terceira ou quarta matriz) as linhas não nulas da matriz são LI.

Ou seja, queremos encontrar a base da imagem, que já sabemos que é gerada por {(1,1,1), (1,-1,0)}. Sabemos que {(1,1,1),(0,-2,-1)} gera o mesmo subespaço e é LI. Logo { (1,1,1), (0,-2,-1) } é base da imagem. (os outros conjuntos acima também são bases)

Núcleo:

T(x,y) = (0,0,0)

x+y = 0

x-y = 0

x = 0

Apesar de ser bem fácil esse vamos fazer a matriz aumentada do sistema

$\left[\begin{array}{cc|c}1&1&0\\1&-1&0\\1&0&0\end{array}\right] \to\left[\begin{array}{cc|c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right]$

Nesse caso a soluçao é única x = y = 0. Assim o núcleo é formado apenas pelo vetor nulo. Logo sua base é o conjunto vazio.

Obs.: Se você já sabe o teorema do núcleo e da imagem, nesse caso seria útil.