Question

Lim (ⁿ√x - ⁿ√a) / (√x - √a)
x → a

:v​

Answer 1

Resposta:

$\huge{\boxed{ \dfrac{2}n a^{\frac 1n - \frac 12}}}$

Explicação passo-a-passo:

É só usar as fatorações:

Aⁿ - Bⁿ = (A-B)(Aⁿ⁻¹ + Aⁿ⁻²B + Aⁿ⁻³B² + ... + ABⁿ⁻² + Bⁿ⁻¹)

Vc pode fatorar diretamente mas acho mais fácil de ver fazendo uma substituição pra "sumir" as raízes

No caso, considere x = y²ⁿ, b = a²ⁿ. Daí, quando x tende a "a", y tende a "b". Logo o limite fica

$L = \displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac{\sqrt[n]x - \sqrt[n] a}{\sqrt x - \sqrt a} = \displaystyle \lim_{y \to b} \, \dfrac{y^2 - b^2}{y^n - b^n}$

Agora podemos fatorar (já podíamos, mas agora é mais fácil)

y² - b² = (y-b)(y+b)

yⁿ - bⁿ = (y-b)(yⁿ⁻¹ + yⁿ⁻²b + yⁿ⁻³b² + ... + ybⁿ⁻² + bⁿ⁻¹)

Dai o (y-b) vai cortar e o limite vai ficar

$L = \displaystyle \lim_{y \to b} \, \dfrac{y + b}{y^{n-1} + y^{n-2}b + \cdots +b^{n-1}}$

Esse limite já não possui indeterminação. Lembrando que  b = a²ⁿ a resposta final será

$L = \dfrac{2b}{nb^{n-1}} = \dfrac{2}{n}b^{2-n} = \dfrac{2}n a^{\frac 1n - \frac 12}$

Obs.: Se você já sabe derivadas, pode notar que

$L = \displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac{\sqrt[n]x - \sqrt[n] a}{\sqrt x - \sqrt a} = \lim_{x \to a} \, \dfrac{ \dfrac{\sqrt[n]x - \sqrt[n] a}{x-a}}{\dfrac{\sqrt x - \sqrt a}{x-a}}$

Ou seja o limite acima é a derivada de x^(1/n) no ponto a dividido pela derivada de x^(1/2) no ponto a. Mesmo que você não possa usar derivadas na resolução do problema, saber isso da uma maneira de conferir a resposta ao menos.