Question

1.55^3 x 5^0 – 3.55^2 x 5^1 + 3.55^1 x 5^2 – 1.55^ 0 5^3
O valor correspondente à expressão acima é? Tem que ser detalhada apresentando os cálculos. Não será considerada a resposta sem cálculo, pois o resultado eu tenho.

Resposta: 50^3

Answer 1

Então, sua questão não precisa de cálculos, só de uma explicação mesmo.

$1.55^3.5^0 - 3.55^2.5^1 + 3.55^1.5^2 -1.55^0.5^3$

Isso é uma expansão de um binômio. Quando fazemos por exemplo:

(a - b)² = 1a² - 2ab + 1b²

Os coeficientes 1, 2 e 1 vêm do Triângulo de Pascal (imagem). Triângulo de Pascal é um triângulo infinito onde estão os coeficientes das expansões binominais.

Os expoentes dos termos a e b são colocados da seguinte forma, o primeiro começa com o maior expoente possível (aquele que eles estão sendo elevados, neste caso 2) e vai decrescendo até zero. Com b acontece o contrário, seu expoente começa zero e cresce até 2. Assim:

$(a - b)^2 = 1a^2b^0 - 2a^1b^1 + 1a^0b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Como todo número elevado a zero vale 1, encontramos o produto notável que chamamos de trinômio quadrado perfeito.

Observe que pro exemplo que eu dei, os coeficientes estão na 3º linha, ou seja, sempre uma linha a mais do que o expoente que estamos querendo elevar.

Se você olhar bem, a sua expansão, os coeficientes estão na linha 4, ou seja, ela é a soma ou subtração de dois números elevado ao cubo.

Então ele é algo assim:

(a + b)³ ou (a - b)³

Se você olhar seus termos, temos o 55³ no primeiro e depois seu expoente vai decrescendo e $5^0$ com o expoente crescendo até 3.

Conclusão, a = 55 e b = 5.

Agora só falta descobrir se o sinal entre eles é + ou -. Se fosse + não teríamos nenhum termo negativo, já que estaríamos sempre multiplicando números positivos, então concluímos que:

$1.55^3.5^0 - 3.55^2.5^1 + 3.55^1.5^2 -1.55^0.5^3 = (55 - 5)^3$

Porém 55 - 5 = 50, logo:

$(55 - 5)^3 = 50^3$