Question

O triângulo de vértices: A(x, 4), B(0, 6) e C(1, –2) é retângulo em C. Calcule valor de x.

Answer 1

Resposta:

Como o triângulo é retângulo, sendo reto em C, então AB é a hipotenusa. Assim, vamos calcular a distância de A a B.

$d_{ab} = \sqrt{ {(x_b - x_a)}^{2} + {(y_b - y_a)}^{2} } \\ d_{ab} = \sqrt{ {(0 - x)}^{2} + {(6 - 4)}^{2} } \\ d_{ab} = \sqrt{ {( - x)}^{2} + {2}^{2} } \\ d_{ab} = \sqrt{ {x}^{2} + 4}$

Logo, o segmento AB = $\sqrt{x^{2}+4}$. Agora, vamos calcular as medidas dos catetos AC e BC.

$d_{ac} = \sqrt{ {(1 - x)}^{2} + {( - 2 - 4)}^{2} } \\ d_{ac} = \sqrt{1 - 2x + {x}^{2} + 36} \\ d_{ac} = \sqrt{ {x}^{2} - 2x + 37 }$

Logo, o cateto AC mede $\sqrt{x^{2}-2x+37}$.

Agora, calculemos a medida do cateto BC:

$d_{bc} = \sqrt{ {(1 - 0)}^{2} + {( - 2 - 6)}^{2} } \\ d_{bc} = \sqrt{1 + 64} \\ d_{bc} = \sqrt{65}$

Conhecendo as três medidas desse triângulo, apliquemos o teorema de Pitágoras para obtermos o valor de x:

a² = b² + c² => AB² = AC² + BC²

${( \sqrt{ {x}^{2} + 4} )}^{2} = {( \sqrt{ {x}^{2} - 2x + 37 }) }^{2} + ( { \sqrt{65} )}^{2} \\ {x}^{2} + 4 = {x}^{2} - 2x + 37 + 65 \\ {x}^{2} - {x}^{2} + 2x = 37 + 65 - 4 \\ 2x = 98 \\ x = \dfrac{98}{2} \\ \boxed{x = 49}$

Portanto, x vale 49.

Answer 2

Resposta:

x = 49

Explicação passo-a-passo:

Se o triângulo é retângulo em C, isto significa que vale o teorema de Pitágoras. Como C é o ângulo reto, temos que AB é hipotenusa e AC e BC catetos. Fazendo a distância entre os pontos e aplicando pitágoras podemos encontrar x. Sabemos que:

AB² = AC² + BC²

Fazendo distância entre 2 pontos:

$AB = \sqrt{(x-0)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{x^2 + 4}$

$AC = \sqrt{(x-1)^2 + (4+2)^2} = \sqrt{x^2 - 2x + 38}$

$BC = \sqrt{(0-1)^2 + (6+2)^2} = \sqrt{65}$

Colocando as distâncias no Pitágoras, as raízes desaparecem:

$(\sqrt{x^2+4})^2= (\sqrt{x^2-2x+37})^2 + (\sqrt{65})^2\\x^2+4 = x^2-2x+37 + 65\\2x = 37+65-4\\2x = 98\\x = 49$