Matéria: Matemática
Autor: lippysantana
Perguntado 6 anos atrás

Obtenha A42 na PA (-7,-2...)

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (-7, -2,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:-7

c)quadragésimo segundo termo (a₄₂): ?

d)número de termos (n): 42 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 42ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do quadragésimo segundo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos, crescem (embora negativos, há uma aproximação do zero) e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = -2 - (-7) ⇒

r = -2 + 7 ⇒

r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quadragésimo segundo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₄₂ = -7 + (42 - 1) . (5) ⇒

a₄₂ = -7 + (41) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₄₂ = -7 + 205 ⇒

a₄₂ = 198

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 42º termo da P.A.(-7, -2, ...) é 198.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₄₂ = 198 fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quadragésimo segundo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

198 = a₁ + (42 - 1) . (5) ⇒

198 = a₁ + (41) . (5) ⇒

198 = a₁ + 205 ⇒ (Passa-se 205 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

198 - 205 = a₁ ⇒

-7 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -7 (Provado que a₄₂ = 198.)

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