Question

Considerando que a distância entre ponto P(k, 4) e a reta que passa pelos pontos (4,0) e (0,5) é igual a 6 unidades. Determine o valor da coordenada k. ME AJUDEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM​

Answer 1

Resposta:

$\displaystyle k= \frac{4+6\sqrt{41}}{5}~ou~\displaystyle k= \frac{4-6\sqrt{41}}{5}$

Explicação passo-a-passo:

Equação da reta que passa pelos pontos (4,0) e (0,5):

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\4&0&1\\0&5&1\end{array}\right] =0\\\\\\0+0+20-0-4y-5x=0~\div(-1)\\\\5x+4y-20=0$

Equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0) a distância entre o ponto P e a reta s:

$\displaystyle d=\frac{|a.x_{0}+b.y_{0}+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }$

Substituindo a=5; b=4; c= -20; x0=k; y0=4 e d=6 na equação:

$\displaystyle d=\frac{|a.x_{0}+b.y_{0}+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }\\\\\\6=\frac{|5.k+4.4-20|}{\sqrt{5^2+4^2} }\\\\\\6=\frac{|5k+16-20|}{\sqrt{25+16} } =\frac{|5k-4|}{\sqrt{41} } \\\\\\|5k-4|=6\sqrt{41}$

1a solução:

5k-4=6√41

5k=4+6√41

$\displaystyle k= \frac{4+6\sqrt{41}}{5}$

2a solução:

-(5k-4)=6√41

-5k+4=6√41

5k=4-6√41

$\displaystyle k= \frac{4-6\sqrt{41}}{5}$