Question

Suponha que circulos de diâmetros iguais sejam agrupados o mais junto possível em n fileiras dentro de um triângulo equilátero. (A figura ilustra o caso n = 4.) Se A for a área do
triângulo e An, for a área total ocupada pelas n fileiras de círculos, mostre que

$lim_{n \to \infty} \frac{an}{a} = \frac{\pi}{2 \sqrt{3} }$​

Answer 1

Para calcular esse limite lembramos que a área de um triângulo equilátero de lado L é L²√3/4 e sua altura é L√3/2. A área de um círculo de raio R é πR².

Voltando ao problema, consideramos a situação em que temos  n ≥ 2 fileiras. Seja ABC o triângulo e digamos que este tem lado L e cada círculo tem raio R. Nessa situação, temos

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

círculos. Portanto sua área será:

Sₙ = n(n+1)πR²/2

Por outro lado, a área do triângulo é

S = L²√3/4

Queremos então calcular o limite:

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \dfrac {S_n}S = \lim_{n \to \infty} \,\dfrac{2n(n+1)\pi R^2}{L^2 \sqrt 3}$

Vamos então achar uma relação entre R e L para calculá-lo.

Considere A₁, B₁, e C₁ os centros dos círculos mais próximos dos vértices A, B e C, respectivamente (veja figura). Seja AH altura de ABC e A₁H₁ altura do triângulo A₁B₁C₁. Notamos que A₁B₁C₁ é equilátero de lado 2(n-1)R. Portanto,

A₁H₁ = (n-1)R√3

Além disso, H₁H = R e AA₁ = 2R (pois o triângulo ADA₁ é retângulo em D e o ângulo A mede 30°). Logo:

AH = AA₁ + A₁H₁ + H₁H

L√3 /2 = 2R + (n-1)R√3 + R

L √3 = R (6 + 2(n-1)√3)

Usando essa relação podemos calcular o limite:

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \, 2 \pi \cdot\dfrac{n(n-1)}{ \sqrt 3} \cdot \left(\dfrac RL \right)^2 = \lim_{n \to \infty}\, 2 \pi \cdot \dfrac{ n(n-1)}{ \sqrt 3} \cdot \left( \dfrac { \sqrt 3}{6 + 2\sqrt 3(n-1) }\right)^2$

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty}\, 2 \pi \sqrt 3\cdot\dfrac{ n(n-1)}{ 12(n-1)^2 - 24 \sqrt 3(n-1) + 36} = \dfrac{2 \pi \sqrt 3}{12} \implies \boxed{L = \dfrac{\pi}{2 \sqrt 3}}$

Portanto, concluímos que

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\, \dfrac{S_n} S = \dfrac \pi { 2 \sqrt 3}$

Obs.: Estou usando S para as áreas para não confundir com o A do triângulo da imagem.

Resposta:

π / (2√3)