Question

Ache o comprimento e o ponto médio dos segmentos, cujos extremos são dados pelos pontos abaixo:
a) (1,2) e (2,4);
b) (1,0) e (0,1);
c) (1,1) e (3,1);
d) (-1,1) e (-2,-4);

Answer 1

O exercício é sobre Geometria Analítica.

• O que é o comprimento de um segmento?

O comprimento de um segmento nada mais é que a distância entre os pontos que unem este segmento. Para calcularmos o comprimento de um segmento, usamos a fórmula: d² = (Xb - Xa)² + (Yb - Ya)².

• O que é o ponto médio?

Quando temos um segmento de reta, podemos dividi-lo em dois, e o ponto que vai dividir este segmento exatamente na metade, é justamente o ponto médio dele.

Vamos lembrar que as coordenadas de um ponto são dadas por (x, y), sendo x o valor correspondendo ao eixo das abcissas no plano cartesiano, e y o valor correspondente ao eixo das ordenadas.

• Como resolver o exercício?

Primeiramente, vamos calcular a distância entre os pontos, ou o comprimento dos segmentos:

(a) d² = (Xb - Xa)² + (Yb - Ya)²

d² = (2 - 1)² + (4 - 2)²

d² = (1)² + (2)²

d² = 1 + 4

d² = 5

d = √5

(b) d² = (Xb - Xa)² + (Yb - Ya)²

d² = (0 - 1)² + (1 - 0)²

d² = (-1)² + (1)²

d² = 1 + 1

d² = 2

d = √2

(c) d² = (Xb - Xa)² + (Yb - Ya)²

d² = (3 - 1)² + (1 - 1)²

d² = (2)² + (0)²

d² = 4

d = √4

d = 2

(d) d² = (Xb - Xa)² + (Yb - Ya)²

d² = ( - 2 + 1 )² + ( - 4 + 1 )²

d² = ( -2)² + (-3)²

d² = 4 + 9

d² = 15

d = √15

Aplicando a fórmula do ponto médio: Xm = $(\frac{Xa + Xb}2})$  e Ym = $(\frac{Ya + Yb}{2})$, vamos encontrar os pontos médios:

(a) Xm = $\frac{1 + 2}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Ym = $\frac{2 + 4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

M = ( $\frac{3}{2}$, 3)

(b) Xm = $\frac{1 + 0}{2}$ = $\frac{1}{2}$

Ym = $\frac{0 + 1}{2}$ = $\frac{1}{2}$

M ( $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$ )

(c) Xm = $\frac{1 + 3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Ym = $\frac{1 + 1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

M = ( 2, 1 )

(d) Xm = $\frac{- 1 - 2}{2}$ = $\frac{-3}{2}$

Ym = $\frac{1 - 4}{2}$ = $\frac{-3}{2}$

M = ( $\frac{-3}{2}$, $\frac{-3}{2}$ )

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Bons estudos!