Question

Calcule o limite de (está na foto)​

Answer 1

Resposta:

3/10

Explicação passo-a-passo:

Pra esse tipo de problema, temos que recorrer a fatoração:

A³-B³ = (A-B)(A² + AB + B²)

No caso, o A será a raiz cubica de 8+3x-x² e o B será 2. Daí vamos multiplicar o numerador e o denominador por A²+AB+B². Para facilitar a escrita e a visualizar vamos escrever A e B nos limites ao inves da expressão inteira. Temos

$A - B = \sqrt[3]{8+3x-x^2} - 2$

$A^2 + AB + B^2 = \sqrt[3]{(8+3x - x^2)^2} + 2\sqrt[3]{8+3x - x^2} + 4$

$A^3 - B^3 = (8+3x-x^2) - 2^3 = 3x - x^2 = x(3-x)$

Com isso o limite fica

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sqrt[3]{8 + 3x - x^2} - 2}{x+ x^2} = \lim_{x \to 0} \, \dfrac{A-B}{x+x^2} = \lim_{x \to 0} \, \dfrac{A-B}{x+x^2} \cdot\dfrac{A^2 + AB + B^2}{A^2 + AB + B^2} \\[3ex] \phantom{\lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sqrt[3]{8 + 3x - x^2} - 2}{x+ x^2}} = \lim_{x \to 0} \, \dfrac{A^3 - B^3}{x(x+1)(A^2+ AB + B^2)} \\[3ex] \phantom{\lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sqrt[3]{8 + 3x - x^2} - 2}{x+ x^2}} = \lim_{x \to 0} \, \dfrac{3-x}{(x+1)(A^2+ AB + B^2)}$

Quando x tende a 0, 3-x tende a 3, x+1 tende a 1 e A²+AB+B² tende a 10. Portanto a resposta é 3/10