Question

A massa m(t) de um certo material radioativo, no instante t anos, é expressa por m(t) = m0 . at , sendo m0 a massa inicial e a um número real positivo. Em um período de 14.000 anos, a massa do material sofre uma redução de 80%. Em quantos anos a massa inicial do material reduz-se à metade?
(Considere log10 2 = 0,3)

Answer 1

Resposta:

6.000 anos

Explicação passo-a-passo:

Imagino que a expressão seja essa:

$m(t) = m_0 . a^t$

Quando t = 0, ou seja, não se passou tempo nenhum, a massa do objeto é igual sua massa inicial, $m = m_0$.

Sabemos que quando  t = 14.000, $m_0$ perde 80% de sua massa, ou seja, se antes ela era:

$100\% => \dfrac{100m_0}{100} = 1m_0$

Agora ela passa a ser:

$100 - 80 = 20\% => \dfrac{20m_0}{100} = 0,2m_0$

Sabemos então que:

$m_0.a^{14000} = 0,2m_0$

Podemos simplificar os dois lados por $m_0$ e aplicar logaritmo para encontrar o valor de a.

$a^{14000} = 0,2\\log \ a^{14000} = log \ 0,2\\14000.log \ a= log \ 0,2\\log a =\dfrac{ log \ 2.10^{-1}}{14000} \\log a =\dfrac{ log \ 2 + log10^{-1}}{14000}$

Sabemos que $log 2 = 0,3$ pois foi dado no exercício e $log 10^{-1} = -1$. Assim temos:

$log a = \dfrac{0,3+(-1)}{14000}\\log a = -0,00005\\log a = -5.10^{-5}$

Queremos saber qual o valor de t para que:

$m_0.a^t = 0,5m_0$

Mais uma vez simplificamos por $m_0$ aplicamos log dos dois lados.

$a^t = 0,5\\log \ a^t = log \ 0,5\\t.log\ a = log \ 5.10^{-1}\\t.log \ a = log 5 + log 10^{-1}$

Podemos calcular log 5 da seguinte forma:

$log 5 = log\frac{10}{2} = log 10 - log 2 = 1 - 0,3 = 0,7$

Voltando a nossa equação:

$t.loga = log 5 + log 10^{-1}\\t.log a = 0,7 + (-1)\\t.log a = -0,3$

Anteriormente, encontramos o valor de log a, então é só substitui-lo:

$t (-5.10^{-5}) = -3.10^{-1}\\t = \dfrac{-3.10^{-1}}{-5.10^{-5}} \\t = 0,6.10^{-1-(-5)}\\t = 0,6.10^{-1+5}\\t = 0,6.10^4\\t = 6000$

O material se reduz a metade em 6.000 anos.