Question

O que é uma matriz inversa? Proponha uma matriz que pode ser denominada de inversa.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Matriz inversa é aquela que quando multiplicada pela matriz original, gera a matriz identidade.

Ou seja, seja a matriz A e seja A^-1 a sua inversa, então

A.A^-1 = I, sendo I a matriz identidade ou ainda matriz unitária

Seja A =

$\binom{2 \: \: \: \: \: \: 4}{3 \: \: \: \: \: \: \: 5}$

É seja A^-1 =

$\binom{a \: \: \: \: \: \: b}{c \: \: \: \: \: \: \: d}$

E seja I =

$\binom{1 \: \: \: \: \: \: 0}{0 \: \: \: \: \: \: \: 1}$

A.A^-1 = I =>

$\binom{2.a + 4.c \: \: \: \: \: \: 2.b + 4.d}{3.a + 5.c \: \: \: \: \: \: 3.b + 5.d} = \binom{1 \: \: \: \: \: \: 0}{0 \: \: \: \: \: \: 1}$

2a + 4c = 1 (I)

3a + 5c = 0 (II)

2b + 4d = 0 (III)

3b + 5d = 1 (IV)

De (I) e (II), teremos

2a + 4c = 1 (I)

3a + 5c = 0 (II)

Multiplicando (I) por 3 e (II) por (-2) e somando os resultados, teremos

6a + 12c = 3 (I)'

-6a - 10c = 0 (II)'

--------------------

2c = 3

c = 3/2, que substituído em (I), resulta em

2a + 4.3/2 = 1

2a + 6 = 1

2a = 1 - 6

a = -5/2

De (III) e (IV), teremos

2b + 4d = 0 (III)

3b + 5d = 1 (IV)

Multiplicando (III) por 3 e (IV) por (-2), É somando os resultados, teremos

6b + 12d = 0 (III)'

-6b - 10d = -2 (IV)'

---------------------

2d = -2

d = -2/2

d = -1, que substituído em (III), resulta que

2b - 4 = 0

2b = 4

b = 4/2

b = 2

Assim, a matriz inversa de A é a matriz A^-1 =

$\binom{ - \frac{5}{2} \: \: \: \: \: \: 2}{ \frac{3}{2} \: \: \: \: \: \: - 1}$