Question

1- Sejam as retas r:3x +5y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 5 = 0. Determine as equações geral, reduzida e segmentária da reta paralela à 3x +5y +4 = 0 e que passa pelo ponto de interseção das retas r e s.

Answer 1

A reta paralela a 3x + 5y + 4 = 0 é aquela que possui o mesmo coeficiente angular que ela. Para descobrir qual é ele, colocamos-a na forma geral y = ax + b.

$3x + 5y + 4 = 0 \\5y = - 3x - 4\\[0,9ex]y = -\dfrac{3x}{5} - \dfrac{4}{5}$

Assim, a equação da reta paralela será, a princípio:

$y = -\dfrac{3x}{5} - b$

Para achar b, temos que determinar qual o ponto de intersecção das retas r e s. Para fazer isso, basta encontrar suas equações gerais.

$3x +5y + 3 = 0 \implies 5y = -3x - 3 \implies y = \dfrac{-3x-3}{5}$

$2x + 3y + 5 = 0 \implies 3y = -2x - 5 \implies y = \dfrac{-2x - 5}{3}$

E igualá-las.

$\dfrac{-3x-3}{5} = \dfrac{-2x - 5}{3}$

Multiplicando cruzado achamos:

$3(-3x-3) = 5(-2x-5)\\-9x - 9 = -10x-25\\-9x + 10x = -25 + 9\\x = -16$

Isso significa que elas se intersectam em x = - 16, para descobrir o y basta substituir x em qualquer uma das duas equações.

$y = \dfrac{-2(-16)-5}{3} = \dfrac{27}{3} = 9$

Substituindo o ponto de intersecção (-16,9) na equação da reta.

$9 = -\dfrac{3.16}{5} - b$

$9 - \dfrac{48}{5}= - b$

$b = \dfrac{-45+48}{5} = \dfrac{3}{5}$

A equação reduzida da reta será:

$y = -\dfrac{3x}{5} + \dfrac{3}{5}$

A segmentária:

$\dfrac{3x}{5}+y = \dfrac{3}{5} \implies \dfrac{15x}{15} + \dfrac{5y}{3} = 1 \implies x + \dfrac{y}{\frac{3}{5}} = 1$

A geral:

$-\dfrac{3x}{5} - y + \dfrac{3}{5} = 0$