Question

Questão de logaritmo. Pf me ajufa

Answer 1

Bom meu mano, vamos fazer algumas observações iniciais. O logaritmo na base e, é a mesma coisa que o logaritmo natural.

$4^x - (ln(t) + 3)2^x - ln(t) = 0$

A sacada da questão é perceber que ela é uma equação de segundo grau

$(2^x)^2 - (ln(t) + 3)2^x - ln(t) = 0$

Para satisfazer as condições estabelecidas no problema, o discriminante deve ser positivo, ou seja Δ > 0.

I)

$ln(t) + 3 > 0\\ln(t) > -3\\e^{ln(t)} > e^-3\\t > e^{-3}$

II)

$ln(t) < 0\\e^{ln(t)} < e^0\\ t < 1$

III)

$(ln(t) + 3) ^2 + 4 * ln(t) > 0\\(ln(t) + 3)(ln(t) + 3) + 4 * ln(t) > 0\\(ln(t))^2 + 3ln(t) + 3ln(t) + 9 + 4ln(t) > 0\\(ln(t))^2 + 10ln(t) + 9 > 0$

Definimos o intervalo para $t > 0$

Para simplificar $u = ln(t)$

$u ^2 + 10u + 9 > 0\\u^2 + 9u + u + 9 > 0\\u (u + 9) + u + 9 > 0\\(u + 9) * (u + 1) > 0$

A partir daqui, existem duas formas em que $a * b > 0$

Ou tanto a quanto b são maiores que 0 ou os dois são negativos. Logo:

$\left \{ {{u + 9 > 0} \atop {u + 1 > 0}} \right. \\\left \{ {{u + 9 < 0} \atop {u + 1 < 0}} \right.$

$\left \{ {{u > -9} \atop {u > -1}} \right. \\\left \{ {{u < -9} \atop {u < -1}} \right.$

Para o primeiro sistema a intersecção é u ∈ (-1, +∞)

O segundo sistema é u ∈ (-∞, -9)

Logo u ∈ (-∞, -9) U (-1, +∞)

Fazendo a intersecção desses intervalos que encontramos:

u ∈ (-∞, -9) U (-1, +∞)

$t < 1$

$t > e^{-3}$

Lembre que $u = ln(t)$

t ∈ (-∞, e^-9) U (e^-1, +∞) que pode ser escrito como $e^{-1} < t < 1$