Question

Considere a equação (x^2-2)/3-(3x^2+2)/(x^2-1)=20/(x^2-1) , cujo conjunto universo é U = {x∈IR/x≠-1e x≠1}. Qual é o conjunto solução dessa equação?

Answer 1

    $\frac{x^2-2}{3}-\frac{3x^2+2}{x^2-1}=\frac{20}{x^2-1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{(x^{2}-2)(x^{2}-1)}{3(x^{2}-1)}-\frac{(3x^{2}+2)\times 3}{(x^{2}-1)\times 3}=\frac{20\times 3}{(x^{2}-1)\times 3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x^{2}-2)(x^{2}-1)-(3x^{2}+2)\times 3=20\times 3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow [(x^{2})^{2}-x^{2}-2x^{2}+2]-(9x^{2}+6)=60\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x^{4}-3x^{2}+2)-(9x^{2}+6)=60\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^{4}-3x^{2}+2-9x^{2}-6-60=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^{4}-12x^{2}+2-6-60=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^{4}-12x^{2}-4-60=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^{4}-12x^{2}-64=0$

Como chegamos a um polinómio do 4º grau igualado a 0, devemos usar a Regra de Ruffini para o simplificar.

Divisores do polinómio (divisores de 64 e seus simétricos):$\{\;\pm1\;;\;\pm2\;;\;\pm4\;;\;\pm8\;;\;\pm16\;;\;\pm32\;;\;\pm64\;\}$

Como, pelo enunciado,  $U = \{x\in\mathbb{R}:x\neq -1\;\;\wedge\;\; x\neq1\}$,

Divisores do polinómio: $\{\;\pm2\;;\;\pm4\;;\;\pm8\;;\;\pm16\;;\;\pm32\;;\;\pm64\;\}$

Para usar a Regra de Ruffini, substituímos a incógnita por estes valores e procuramos as que a anulem.

Para $x=-2$ :

$(-2)^{4}-12\times(-2)^{2}-64=16-12\times4-64=16-48-64=-96$  X

Para $x=2$ :

$2^{4}-12\times2^{2}-64=16-12\times4-64=16-48-64=-96$  X

Para $x=-4$ :

$(-4)^{4}-12\times(-4)^{2}-64=256-12\times16-64=256-192-64=0\;\;\checkmark$

Para $x=4$ :

$4^{4}-12\times4^{2}-64=256-12\times16-64=256-192-64=0\;\;\checkmark$

(Se quiseres podes calcular os outros, mas este já chegam)

Regra de Ruffini:

   |  1    0   -12   0   -64

   |

4  |       4    16   16   64

   |  1    4     4   16     0  →  $0=0$  → $x-4$ é raiz deste polinómio

Daqui resulta que  $x^{4}-12x^{2}-64=(x-4)(x^{3}+4x^{2}+4x+16)$

Como ainda temos um polinómio do 3º grau, voltamos a usar a Regra de Ruffini:

   |  1    4     4     16

   |

4  |       4    32   144

   |  1    8    36   160    →  $160\neq0$  → $x-4$ não é raiz deste polinómio

   |  1    4     4     16

   |

-4 |      -4     0    -16

   |  1    0     4      0    →  $0=0$  → $x+4$ é raiz deste polinómio

Daqui resulta que  $x^{3}+4x^{2}+4x+16=(x+4)(x^{2}+4)$

Assim, temos que:

    $x^{4}-12x^{2}-64=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x-4)(x+4)(x^{2}+4)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x-4=0\;\;\vee\;\;x+4=0\;\;\vee\;\;x^{2}+4=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=4\;\;\vee\;\;x=-4\;\;\vee\;\;x^{2}=-4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=4\;\;\vee\;\;x=-4\;\;\vee\;\;Equacao\;Impossivel\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=4\;\;\vee\;\;x=-4$

    $x\in\{\;-4\;;\;4\;\}$