Question

Recompensa: 90 pontos

Gincana da noite

I) Calcule as raízes da seguinte equação x⁶ + 117x³ – 1000 = 0. 

Boa sorte ksksk.​

Answer 1

Considerando y = x³

=> y² + 117x - 1000 = 0

=> Δ = b² - 4ac

=> Δ = 117² - 4.1.(-1000)

=> Δ = 13689 + 4000 = 17689

=> y = (-b +- √Δ) / 2a

=> y = (-117 +- 133) / 2

=> y1 = (-117 + 133) / 2 = 16/2 = 8

=> y2 = (-117 - 133) / 2 = (-250)/2 = -125

=> (x1)³ = y1

=> $x1 = \sqrt[3]{8} = 2$

=> (x2)³ = y2

=> $x2 = \sqrt[3]{-125} = -5$

S = {$-5, 2$}

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação do Sexto Grau :

Dada a equação :

$\mathtt{ \green{ x^6 + 117x^3 - 1000~=~0 } }$

Vamos manipular um pouco a equação , de modo que tenhamos algo em comum nos termos existentes :

$\mathtt{ (x^3)^2 + 117x^3 - 1000~=~0 }$

Seja: $\mathtt{ x^3~=~ k }$ ,Então Vamos ter :

$\mathtt{ \red{ k^2 + 117k - 1000~=~0 } }$

Vamos achar as Raízes em função de k :

$\mathtt{Coeficientes :} \begin{cases} \mathtt{ a~=~1 } \\ \\ \mathtt{ b~=~+117 } \\ \\ \mathtt{ c~=~-1000 } \end{cases}$

$\mathtt{ ~~~~~~~~~~~~BHASKARA~: }$

$\mathtt{ k ~=~ \dfrac{ -b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} }$ , Onde por sua vez :

$\mathtt{ \blue{ \Delta ~ = b^2 - 4ac } }$ , Inserindo a expressão na fórmula acima :

$\boxed{\mathtt{ k ~=~ \dfrac{-b \pm\sqrt{ \blue{ b^2 - 4ac} } }{2a} } }$

Substituindo Vamos ter :

$\mathtt{ k ~=~ \dfrac{-117 \pm \sqrt{ 117^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) } }{2.1} }$

$\mathtt{ k~=~ \dfrac{ -117 \pm \sqrt{ 13689 + 4000 } }{2} }$

$\mathtt{ k~=~\dfrac{-117 \pm \sqrt{ 17689 } }{2}~=~\dfrac{-117 \pm 133 }{2} }$

$\mathtt{k : } \begin{cases} \mathtt{ k_{1} ~=~\dfrac{-117 + 133 }{2}~=~\dfrac{16}{2} } \\ \\ \mathtt{ k_{2}~=~ \dfrac{-117 - 133 }{2}~=-\dfrac{250}{2} } \end{cases}$

$\mathtt{ k : } \begin{cases} \boxed{ \mathtt{ k_{1} ~=~ 8 } } \\ \\ \boxed{ \mathtt{ k_{2} ~=~-125 } } \end{cases}$

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Voltemos a nossa variável x , lembre que :

x³ = k

Então vamos ter :

$\mathtt{ x^3~=~8~\vee~x^3~=~-125 }$

$\mathtt{ x^{\cancel{3}}~=~2^{\cancel{3}}~\vee~x^{\cancel{3}}~=~(-5)^{\cancel{3}} }$

$\mathtt{ \blue{ x~=~2 ~\vee~x~=~-5 } }$$\checkmark$

Espero ter ajudado bastante!)