Question

Resolva a equação integral a seguir:

Answer 1

Resposta:

5π/4

Explicação passo-a-passo:

Essa integral (sem o 10 e o 4) é conhecida como integral de Dirichlet. Existem várias técnicas pra resolver, nenhuma fácil. A mais acessível que sei é usando diferenciação sobre o sinal da integral. Vou assumir já conhecida a convergência. Considere a função definida para t≥0:

$f(t) = \displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin x}{xe^{tx}}\, dx$

A integral acima é absolutamente convergente para t > 0. Isso implica que podemos usar a regra de Leibniz para t > 0

$f'(t) = \dfrac d{dt} \displaystyle \int_0^ \infty \dfrac{\sin x}{x e^{tx}}\, dx = \int_0^\infty \dfrac d{dt} \left(\dfrac{\sin x}{x e^{tx}} \right)dx = - \int_0^\infty \dfrac{\sin x}{e^{tx}} dx$

Mas essa última integral pode ser calculada integrando por partes (duas vezes):

$\displaystyle \int \dfrac{x}{e^{tx}}\, dx = -\dfrac{t \sin x + \cos x}{e^{tx} (t^2 + 1)} + C$

Logo,

$f'(t) = \dfrac{t \sin x + \cos x}{e^{tx} (t^2 + 1)} \Bigg|_{x=0}^{x = \infty} = - \dfrac{1}{t^2+ 1}$

Lembramos que por enquanto só sabemos que a fórmula acima vale para t > 0. Mas como o limite $\displaystyle \lim_{t \to 0} f'(t)$ existe é vale -1, segue que f'(0) = -1. Assim a fórmula vale para t ≥ 0. Em particular, f' é contínua. Pelo teorema fundamental do cálculo advém

$f(t) - f(0) = \displaystyle \int_0^t f'(t)\, dt \implies f(t) = f(0) - \arctan t$

Para concluir, note que quando t tende a infinito, f(t) tende a 0. (Isso não é difícil de provar devido a exponencial no denominador da integral). Logo:

$\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(0) - \arctan t = 0 \implies f(0) = \lim_{x \to \infty} \arctan t = \dfrac{\pi}{2}$

Com esse valor podemos resolver a sua integral:

$\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x} \, dx = \dfrac \pi 2 \implies \boxed{\int_0^\infty\dfrac{10 \sin x}{4x}\, dx = \dfrac{5\pi}{4}}$