Question

(G1 - cftrj 2020) Durante uma aula de trigonometria, o professor propôs aos alunos que determinassem o cosseno de 75 sem a utilização de fórmulas trigonométricas ou calculadoras. Após alguns minutos, um dos estudantes sugeriu os seguintes procedimentos:



1ª etapa: desenhe um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC medindo 1dm e ˆ ABC 75 
2ª etapa: tome o ponto D sobre AC de modo que BD CD.
3ª etapa: determine o comprimento do cateto AB.

Answer 1

Encontra-se para o cosseno de 75º o valor $\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$.

Completando a questão:

Seguindo corretamente as etapas acima, encontra-se para o cosseno de 75º o valor:

$a) \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

$b) \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

$c) \frac{\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}$

$d)\frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}}{2}$.

Solução

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Sendo assim, o ângulo C mede 180 - 90 - 75 = 15º.

De acordo com as informações do enunciado, o triângulo BDC é isósceles de base BC. Então, os ângulos B e C são iguais a 15º.

Consequentemente, o ângulo B no triângulo ABD mede 75º - 15º = 60º.

Considere que BD = CD = x. Utilizando a lei dos cossenos no triângulo BDC, obtemos:

1² = x² + x² - 2.x.x.cos(150)

1 = 2x² - 2x².(-√3/2)

1 = 2x² + x²√3

x²(2 + √3) = 1

x = 1/√(2 + √3).

O seno é igual à razão entre cateto oposto e hipotenusa. Utilizando a razão trigonométrica seno no triângulo ABD, obtemos:

sen(30) = AB/BD

1/2 = AB√(2 + √3)

AB = 1/2√(2 + √3).

O cosseno é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Utilizando a razão trigonométrica cosseno no triângulo ABC, podemos concluir que:

cos(75) = AB/BC

cos(75) = 1/2√(2 + √3)

cos(75) = √(2 - √3)/2.

Alternativa correta: letra a).