Question

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Qual a área da região dada por r = 2 + sen 30
a) 7π/2
b)4π
c)5π
d)9π/2​

Answer 1

Resposta:

9π/2

Explicação passo-a-passo:

A região que queremos calcular a área é delimitada pela curva descrita em coordenadas polares por

r = 2 + sen 3θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π

Lembramos que esse tipo de região pode ter sua área calculada por

$A = \dfrac 12 \displaystyle \int_0^{2\pi}r(\theta)^2 \, d\theta$

Ou seja, nesse problema temos:

$A = \dfrac 12 \displaystyle \int_0^{2\pi} (2 + \sin 3\theta)^2 \, d\theta = \dfrac 12 \int_0^{2 \pi} (4 + 4 \sin 3 \theta + \sin^2 3 \theta )\, d \theta$

Dividindo a integral em 3 partes temos:

$A = \displaystyle 2 \int_0^{2 \pi} 1 \, d\theta + 2 \int_0^{2 \pi} \sin 3 \theta \, d\theta+ \dfrac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \sin^2 3 \theta \, d \theta$

A primeira parcela resulta em 4π e a segunda em 0. A mais complicada é a terceira. Começamos fazendo a substituição t = 3θ. Logo dt = 3dθ e a integral torna-se

$\displaystyle \dfrac 12 \int_0^{2 \pi} \, \sin^2 3 \theta \, d \theta = \dfrac 16 \int_0^{6 \pi} \sin^2 t \, dt$

Agora usamos a identidade 1 - cos(2t) = 2 sen²t. portanto

$\displaystyle \dfrac 12 \int_0^{2 \pi} \, \sin^2 3 \theta \, d \theta = \dfrac 1{12} \int_0^{6 \pi} (1 - \cos 2t ) \, dt = \dfrac{6 \pi}{12} - 0 = \dfrac \pi{2 }$

Logo, a resposta do problema é 4π + π/2 = 9π/2

Obs.:

Se você sabe usar integrais duplas, a área dessa região R pode ser calculada por

$\displaystyle A = \iint_R 1\, dA$

R é descrita em coordenadas polares como

R = {(r,θ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2+ sen 3θ }

Lembrando do Jacobiano das coordenadas polares é dA = rdrdθ, obtemos:

$\displaystyle A = \int_0^{2 \pi} \int_0^{2 + \sin 3 \theta} r \, drd\theta$

Resolvendo a integral em r, o problema torna-se

$A = \dfrac 12 \displaystyle \int_0^{2\pi} (2 + \sin 3\theta)^2 \, d\theta$

que é a mesma coisa de antes. A vantagem é que nesse caso não foi necessário decorar nenhuma fórmula.