Question

Um relógio de pêndulo é calibrado para controlar a passagem de tempo de acordo com o período de sua oscilação, que é dado pela expressão
, onde g = 9, 8 m/s2 e L é o comprimento do pêndulo. Suponha que o pêndulo de um relógio é feito de alumínio (α = 22 × 10-6 ºC-1) e foi calibrado à temperatura de 19ºC. Quando estiver à temperatura de 30ºC, como terá variado sua medição de tempo?

a)
Os intervalos de tempo aumentarão em 0,01%.

b)
Os intervalos de tempo diminuirão em 0,01%.

c)
Os intervalos de tempo aumentarão em 1%.

d)
Os intervalos de tempo diminuirão em 1%.

e)
A variação depende do comprimento do pêndulo.

Answer 1

Resposta:

dilatação linear do pêndulo:

     ΔL = L0 · α · ΔT

•  ΔL: dilatação linear

•  L0: comprimento inicial

•  α: coeficiente de dilatação linear

•  ΔT: variação da temperatura em graus Celsius

Logo, temos que:

     ΔL = L0 · 0,7 · 10^-6 · (30 − 20)

     ΔL = L0 · 0,7 · 10^-6 · 10

     ΔL = L0 · 7 · 10^-6

Sabemos que:

     Lf = L0 + ΔL

Substituindo ΔL, vem:

     Lf = L0 + L0 · 7 · 10^-6

     Lf = L0 · ( 1 + 7 · 10^-6)

__________

Agora, vamos ver como essa mudança irá influenciar na marcação do tempo. Para o período de uma oscilação, temos:

     T = 2π · √(L / g)

•  T: período de uma oscilação completa

•  L: comprimento do pêndulo

•  g: gravidade

Portanto, na situação inicial, temos:

     0,5 = 2π · √(L0 / g)

Observe que se multiplicarmos os dois lados da equação por √(1 + 7 · 10^-6), vem:

     0,5 · √(1 + 7 · 10^-6)  = 2π · √(L0 · (1+ 7 · 10^-6) / g)

     0,5 · √(1 + 7 · 10^-6)  = 2π · √Lf / g)

O novo período de oscilação do pêndulo o valor que se encontra do lado esquerdo da igualdade

     Tf = 0,5 · √(1 + 7 · 10^-6)

     Tf = 0,50000175 s

A cada duas oscilações completas o relógio marca um segundo. Para o relógio estar regulado o tempo das duas oscilações deve ser de um segundo também. Nessa situação temos que o tempo de duas oscilações é de:

     2Tf = 2 · 0,50000175

     2Tf = 1,0000035 s

     2Tf = (1 + 0,0000035)

     2Tf = (1 + 0,0000035)

     2Tf = (1 + 3,5 · 10^-6) s

Note que a cada segundo que se passa o relógio demora 3,5 · 10^-6 s a mais, ficando assim atrasado.

Em 30 dias temos em segundos:

     30 · 24 · 60 · 60 = 2592000 s

Logo o atraso do relógio será de:

     3,5 · 10^-6 · 2592000 = 9,072 s

Resposta: terá que adiantar aproximadamente 9 segundos.

Bons estudos! =)