Um comerciante pode obter do produtor, uma mercadoria ao preço de R$ 50,00 a unidade. Esse comerciante vende essa mercadoria por R$ 80,00 a unidade, e a este preço, os consumidores compram 40 unidades dessa mercadoria por mês. O comerciante está planejando diminuir o preço para estimular as vendas, e estima que, para cada R$ 5,00 de redução no preço, 10 unidades a mais dessa mercadoria serão vendidas por mês. (Valor: 1,0 ponto)
a) Expresse o lucro mensal do comerciante proveniente das vendas dessa mercadoria em função do preço de venda.
b) Esboce o gráfico da função lucro obtida no item (a).
c) Estime o preço de venda ótimo.
Respostas
a) A função do lucro mensal será L(P) = -2P² + 300P - 10000.
Podemos escrever o lucro do comerciante a partir da curva de demanda. A equação da demanda em relação ao preço pode ser calculada por uma equação de primeiro grau, ou seja, uma equação de reta.
f(x) = ax + b
D(P) = a*P + b
Substituindo os pontos (P, D(P)) → (80 reais, 40 unidades) e (75 reais, 50 unidades) podemos calcular os coeficientes a e b da curva.
D(P) = a*P + b
40 = a*80 + b
50 = a*75 + b
a = - 2
b = 200
D(P) = -2P + 200
E o lucro, considerando o custo fixo de cada unidade 50 reais, será em função da quantidade demandada multiplicada pelo preço menos o custo fixo (lucro por unidade):
L(P) = D*(P - 50)
L(P) = (-2P + 200)*(P - 50)
L(P) = -2P² + 300P - 10000
b) O gráfico se encontra abaixo.
O gráfico é uma parábola negativa, com sua concavidade para baixo, apresentando um valor de máximo, ou seja, o lucro máximo que pode ser obtido para um certo preço de venda P.
c) O preço de venda ótimo será de R$75,00.
Para calcularmos o lucro máximo, a derivada da função deve se igualar a zero. Escrevendo a derivada:
dL(P) / dP = -4P + 300 = 0
P = 300/4 = 75
Logo, o preço de venda ótimo será de 75 reais, com lucro de 1250 reais.
Bons estudos!
