Seja a equação x + y + z + t = 10. Quantas são as soluções inteiras:
a) não negativas?
b) positivas?
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a) Nenhuma coordenada é negativa podendo aparecer o zero.
Técnica para não esquecer: Dividi-se com barras e depois combina-se n somada as barras com a quantidade de barras.
x + /y + /z + /t = 10
C13, 3 =
13!/(13 - 3)!.3! =
13.12.11.10!/(10!)(6), cancela 10! e simplfica o 12 com 6.
12.2.11 =
12.22 = 264
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b) Nenhuma coordenada aparece o zero e todos os inteiros são positivos.
p → número de incógnitas e n → somas dessas incógnitas
x1 + x2 + x3 + ...xp = n
C(n-1), (p-1)
C(10-1),(3-1) =
C9,2 =
9!/(9-2)!.2! =
9!/7!.2
9.8.7!/7!.2 = cancela 7! e simplifica o 8 com 2.
9.4 = 36
Na letra "a" a idéia é mais ou menos isso que vou escrever referente a uma questão que caiu no ITA e que eu resolvi aqui pra um menino.
ITA 2) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:
outra maneira para resolver o problema é ter que arranjar essas soluções:
(5,0,0,0) ---> 4!/3! = 4 possibilidades
(4,1,0,0) ---> 4!/2! = 12 possibilidades
(3,1,1,0) ---> 4!/2! = 12 possibilidades
(3,2,0,0) ---> 4!/2! = 12 possibilidades
(2,2,1,0) ---> 4!/2! = 12 possibilidades
(2,1,1,1) ---> 4!/3! = 4 possibilidades
total = 56 possibilidades.
No caso da sua questão fazer isso com o 10 fica um pouco complicado, por isso é melhor aplicar a técnica e escrevi.