3) Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal xOy. Consideremos a circunferência orientada de centro na origem O do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário. Tal circunferência é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico ou ainda círculo trigonométrico. […] Disponível em:.Acesso em: 21 out. 2014. Dadas as afirmativas sobre as linhas trigonométricas definidas num ciclo trigonométrico, I. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sen x e cos x são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1. II. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sec x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa tg x. III. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então cotg x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa cossec x.

verifica-se que está(ão) correta(s) apenas:
A) I
B) II
C) I e II
D) II e III
E) I e III

Respostas

respondido por: decioignacio

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Resposta:

Explicação passo-a-passo:

π ≈ 3,1416 ⇒ π/2 ≈ 1,57 ⇒ (0 < x < 1,5) ∈ Iº quadrante

alternativa E)

anacarolpereira17200: obrigada ☺️

mottaroquemarisane: vlw

respondido por: matematicman314

A alternativa correta é o item E)

No círculo trigonométrico como definido vale a importante relação:

$\text{sen}^{2}(x) + \text{cos}^{2}(x)=1$

Essa famosa identidade provém do Teorema de Pitágoras que afirma que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Avaliando cada item apresentado, tem-se:

I) Verdadeiro.

De fato, se $0<x<1,5$ então $0<x<\frac{\pi}{2}$ , uma vez que $1,5<\frac{\pi}{2} \cong1,57$ . Assim sendo, estamos diante de um ângulo no primeiro quadrante.

Tomando $\text{sen}(x)$ e $\text{cos}(x)$ como catetos e usando que $\text{sen}^{2}(x) + \text{cos}^{2}(x)=1$ (Teorema de Pitágoras), tem-se o que afirma o item.

II) Falso.

Partindo da identidade trigonométrica $\text{sen}^{2}(x) + \text{cos}^{2}(x)=1$ e dividindo todos os termos por $\text{cos}^{2}(x)$ , temos:

$\frac{ \text{sen}^{2}(x)}{\text{cos}^{2}(x)} + \frac{\text{cos}^{2}(x)}{\text{cos}^{2}(x)} =\frac{1}{\text{cos}^{2}(x)}$

simplificando,

$\text{tan}^{2}(x)+ 1=\text{sec}^{2}(x)$

Essa é outra famosa identidade trigonométrica. Observe que comparando com o teorema de Pitágoras, $\text{tan}(x)$ é um cateto e não a hipotenusa. Por outro lado, $\text{sec}(x)$ é a hipotenusa e não o cateto.

III) Verdadeiro.

Novamente, partindo da identidade trigonométrica $\text{sen}^{2}(x) + \text{cos}^{2}(x)=1$ e dividindo agora todos os termos por $\text{sen}^{2}(x)$ , temos:

$\frac{ \text{sen}^{2}(x)}{\text{sen}^{2}(x)} + \frac{\text{cos}^{2}(x)}{\text{sen}^{2}(x)} =\frac{1}{\text{sen}^{2}(x)}$

simplificando,

$1+\text{cotan}^{2}(x)=\text{cossec}^{2}(x)$

Mais uma identidade trigonométrica. Observe que comparando com o teorema de Pitágoras, $\text{cotan}(x)$ é um cateto e $\text{cossec}(x)$ é a hipotenusa.