3) Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal xOy. Consideremos a circunferência orientada de centro na origem O do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário. Tal circunferência é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico ou ainda círculo trigonométrico. […]

Dadas as afirmativas sobre as linhas trigonométricas definidas num ciclo trigonométrico,

I. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sen x e cos x são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1.
II. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sec x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa tg x.
III. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então cotg x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa cossec x.

verifica-se que está(ão) correta(s) apenas:

A) I

B) II

C) I e II

D) II e III

E) I e III

Respostas

respondido por: florencio13

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

π ≈ 3,1416 ⇒ π/2 ≈ 1,57 ⇒ (0 < x < 1,5) ∈ Iº quadrante

alternativa E)

leonardobueno4pdde5e: daonde saiu o pi?

respondido por: Anônimo

Utilizando relações fundamentais de trigonometria e teorema de Pitágora, temos que somente a I e a III estão corretas, portanto, letra E.

Explicação passo-a-passo:

Para demonstrarmos estas propriedades, vamos partir da mais fundamental de todas que é para qualquer angulo real 'x', a soma dos quadrados de seu seno e seu cosseno é sempre 1, ou seja:

sen²(x) + cos²(x) = 1

Esta é uma realidade que vamos tomar por base para concretizar as outras provas.

Outra propriedade que também iremos utilizar é o Teorema de Pitágoras, que nos diz que uma triangulo retangulo com hipotenusa 'h' e catetos 'a' e 'b' possuem a seguinte propriedade juntos:

h² = a² + b²

E com isso podemos ir as questões:

I. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sen x e cos x são os catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1.

Então temos que um cateto é sen(x) e o outro é cos(x), ou seja:

a = sen(x)

b = cos(x)

Assim substituind oisto no Teorema de Pitágoras, temos que:

h² = a² + b²

h² = sen²(x) + cos²(x)

Mas note que o lado direito desta equação é exatamente a propriedade fundamental que discutimos antes que é igual a 1, ou seja:

h² = sen²(x) + cos²(x) = 1

h² = 1

h = 1

Assim vemos que de fato este valores são catetos de um hipotenusa igual a 1.

II. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então sec x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa tg x.

Desta vez vamos partir diretamente da propriedade fundamental inicial:

sen²(x) + cos²(x) = 1

Vamos dividir todos os termos por cos²(x):

sen²(x)/cos²(x) + cos²(x)/cos²(x) = 1/cos²(x)

[ sen(x)/cos(x) ]² + 1 = [ 1/cos(x) ]²

Sabemos que seno dividido por cosseno é a tangente, e sabemos que o cosseno invertido, ou seja, 1 sobre cosseno é a chamada secante, então substituindo estes resultados, temos:

[ sen(x)/cos(x) ]² + 1 = [ 1/cos(x) ]²

[ tg(x) ]² + 1 = [ sec(x) ]²

[ tg(x) ]² + [ 1 ]² = [ sec(x) ]²

Assim temos esta nova propriedade, onde se chamarmos sec(x) de hipotenusa 'h' e tg(x) e 1 dos catetos 'a' e 'b', teremos novamente o Teorema de pitagoras:

[ tg(x) ]² + [ 1 ]² = [ sec(x) ]²

a² + b² = h²

Assim temos que esta afirmativa é falsa, pois ela está invertida, quem é o hipotenusa neste caso é sec(x) e não tg(x).

III. Se x é um número real tal que 0 < x < 1,5, então cotg x é um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa cossec x.

Vamos fazer algo parecido com a questão anterior partindo da equação fundamental, porém ao invés de dividir a todos por cos(x), iremos dividir por sen(x):

sen²(x) + cos²(x) = 1

sen²(x)/sen²(x) + cos²(x)/sen²(x) = 1/sen²(x)

1 + [ cos(x)/sen(x) ]² = [ 1/sen(x) ]²

Sabemos agora que seno sobre cosseno é a tangente, então o cosseno sobre o seno é o inverso disto, que é a chamada cotangente. Além disso chamamos do inverso do seno, ou seja, 1 sobre seno de cossecante. Substituindo estes valores, temos:

1 + [ cos(x)/sen(x) ]² = [ 1/sen(x) ]²

1 + [ cotg(x) ]² = [ cossec(x) ]²

[ 1 ]² + [ cotg(x) ]² = [ cossec(x) ]²

Assim vemos que se chamarmos a cossecante de uma hipotenusa 'h', 1 e cotangente dos catetos 'a' e 'b', voltaremos ao Teorema dePitágoras:

[ 1 ]² + [ cotg(x) ]² = [ cossec(x) ]²

a² + b² = h²

Assim vemos que de fato esta afirmativa esta correta, pois a cossecante é a hipotensua e a cotangente é um cateto.