Question

Prove que a conjectura 2^n > n² é verdadeira se n é um inteiro maior que 4.

Answer 1

Trata-se de uma prova por indução.

Caso base:

Primeiro, provamos que a conjectura vale para k = 5.

$\mathsf{2^5> 5^2 \Leftrightarrow 32 > 25~~\checkmark}$

Caso geral:

Depois, supomos que a conjectura valha para um n = k inteiro e maior que 4 para provar que ela também é válida para um n = k+1. Ou seja,

Supondo que $2^k > k^2$ seja verdade, provar que $2^{k+1} > (k+1)^2$ também é.

$\text{Por um lado, }\\\\\\2^k > k^2 \Leftrightarrow \\\\2^k.2 > k^2.2 \Leftrightarrow \\\\2^{k+1} > 2.k^2 \\\\\\\text{Por outro lado, facilmente percebemos que a desigualdade}\\\\\\2.k^2 > (k+1)^2\\\\\\\text{vale para qualquer k}> 1 + \sqrt{2}.\\\\\\\text{Como 5} > 1 + \sqrt{2},\text{a desigualdade acima pode ser utilizada}\\~\text{na conjectura. Assim,}\\\\2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2~\therefore~\boxed{2^{k+1} > (k+1)^2}~\forall k\geq5\\\\\text{c.q.d}$