Determine o 12º termo geral da progressão aritmética (PA) abaixo

A = (3,7..)

Respostas

respondido por: antonnyarte

Resposta:

a razão é 7-3=4

a12=a1+11r

a12=3+11.4

a12=3+44

a12=47

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (3, 7,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

b)décimo segundo termo (a₁₂): ?

c)número de termos (n): 12 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 12ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do décimo segundo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 3 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo segundo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₂ = 3 + (12 - 1) . (4) ⇒

a₁₂ = 3 + (11) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₂ = 3 + 44 ⇒

a₁₂ = 47

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo segundo termo da P.A.(3, 7,...) é 47.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₂ = 47 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo segundo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

47 = a₁ + (12 - 1) . (4) ⇒

47 = a₁ + (11) . (4) ⇒

47 = a₁ + 44 ⇒ (Passa-se 44 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

47 - 44 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₁₂ = 47.)

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