Question

Quem souber a resolução desses exercícios, vai ajudar mesmo pfvr “Livro Cálculo-Funções de uma e várias variáveis”

Answer 1

Resposta:

Veja cada resposta nos desenvolvimentos.

Explicação passo-a-passo:

Todas os itens usam o seguintes limite fundamental:

$\lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}=1$      também vale a fração contrária $\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen(x)}=1$

Quando for usar esse limite vou sinalizar com um *.

$a) \lim_{x \to0} \frac{sen(-x)}{x} = \lim_{x \to0} \frac{-sen(x)}{x} =\lim_{x \to0} \frac{-1.sen(x)}{x} =^*-1.1=-1$

No item a) na primeira passagem de igualdade usei que seno é uma função ímpar, por isso $sen(-x)=-sen(x)$

$b) \lim_{x \to0} \frac{sen(kx)}{x} = \lim_{x \to0} \frac{k}{k}. \frac{sen(kx)}{x} =\lim_{x \to0} k.\frac{sen(kx)}{kx} =^*k.1=k$

Podemos aplicar o limite fundamental pois se $x \to0$  então  $kx \to 0$.

$c) \lim_{x \to0} \frac{x-sen(x)}{x+sen(x)} = \lim_{x \to0} \frac {sen(x) .(\frac{x}{sen(x)}-1)}{sen(x) .(\frac{x}{sen(x)}+1)} =\lim_{x \to0} \frac {(\frac{x}{sen(x)}-1)}{(\frac{x}{sen(x)}+1)}=^*\frac{(1-1)}{(1+1)}=0$

Colocar o  $sen(x)$  só serve para poder aplicar o limite fundamental.

$d) \lim_{x \to0} \frac{tg(kx)}{x} = \lim_{x \to0} \frac {\frac{sen(kx)}{cos(kx)} }{x} =\lim_{x \to0} \frac{sen(kx)}{cos(kx)} . \frac{1}{x} =\lim_{x \to0} \frac{sen(kx)}{cos(kx)} .\frac{k}{k} . \frac{1}{x} =$

$\lim_{x \to0} \frac{k}{cos(kx)} . \frac{sen(kx)}{kx}=^*\frac{k}{1} .1=k$

Lembrando que  $\lim_{x \to 0} cos(kx)=0$  para qualquer escolha de $k$.

$e)\lim_{x \to0} \frac{sen(ax)}{sen(bx)} = \lim_{x \to0} \frac{\frac{ax}{ax} .sen(ax)}{\frac{bx}{bx} .sen(bx)} = \lim_{x \to0} \frac {ax.\frac{sen(ax)}{ax} }{bx.\frac{sen(bx)}{bx}}=$

$\lim_{x \to0} \frac{ax}{bx} . \lim_{x \to0} \frac {\frac{sen(ax)}{ax} }{\frac{sen(bx)}{bx}}=\lim_{x \to0} \frac{a}{b} . \lim_{x \to0} \frac {\frac{sen(ax)}{ax} }{\frac{sen(bx)}{bx}}=^*\frac{a}{b}.\frac{1}{1}= \frac{a}{b}$

$f)\lim_{x \to0} \frac{tg(ax)}{tg(bx)} = \lim_{x \to0} \frac{\frac{ax}{ax} .\frac{sen(ax)}{cos(ax)}}{\frac{bx}{bx} .\frac{sen(bx)}{cos(bx)}} =\lim_{x \to0} \frac{\frac{ax}{cos(ax)} .\frac{sen(ax)}{ax}}{\frac{bx}{cos(bx)} .\frac{sen(bx)}{bx}}=$

$\lim_{x \to0} \frac{\frac{ax}{cos(ax)} .\frac{sen(ax)}{ax}}{\frac{bx}{cos(bx)} .\frac{sen(bx)}{bx}} = \lim_{x \to0} \frac{\frac{ax}{cos(ax)} }{\frac{bx}{cos(bx)} } .\lim_{x\to0}\frac{\frac{sen(ax)}{ax}}{\frac{sen(bx)}{bx}} =$

$\lim_{x \to0} \frac{ax}{cos(ax)} .\frac{cos(bx)}{bx} .\lim_{x\to0}\frac{\frac{sen(ax)}{ax}}{\frac{sen(bx)}{bx}} =\lim_{x \to0} \frac{ax}{bx} .\frac{cos(bx)}{cos(ax)} .\lim_{x\to0}\frac{\frac{sen(ax)}{ax}}{\frac{sen(bx)}{bx}} =$

$\lim_{x \to0} \frac{a}{b} .\frac{cos(bx)}{cos(ax)} .\lim_{x\to0}\frac{\frac{sen(ax)}{ax}}{\frac{sen(bx)}{bx}} =^* \frac{a}{b}.\frac{1}{1}.\frac{1}{1} = \frac{a}{b}$

Essa questão f) é meio que uma mistura da d) com a e). Vale lembrar que só pode separar os limites porque eles existem separadamente.

$g) \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)-x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}-\frac{x}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}-1=^*1-1=0$

O limite da constante - 1  é o próprio - 1.