Question

Usando a definição de Derivada $\frac{Lim}{h->0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$



Calcule a derivada de $f(x)=x^{2} +2x$

Answer 1

Precisamos calcular a derivada pela definição. Relembramos que uma função f é diferenciável num ponto x quando o limite abaixo existe:

$\displaystyle f'(x) =\lim_{y \to x}\, \dfrac {f(y) - f(x)}{y-x} = \lim_{h \to 0} \, \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Ambos os limites são equivalentes  mas usaremos o segundo pois é o que se encontra no enunciado. Assim para a função f(x) = x²+2x temos:

f(x+h) = (x+h)² + 2(x+h)

f(x+h) = x² + 2hx + h² + 2x + 2h

Aplicando a definição para essa função precisamos apenas resolver o limite

$f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\, \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \, \dfrac {(x^2 + 2hx + h^2 + 2x + 2h)-(x^2 +2x)}{h}$

Agora basta simplificarmos a expressão para concluir o problema

$f'(x) =\displaystyle \lim_{h \to 0} \, \dfrac{2hx + h^2 + 2h}{h} = \lim_{h \to 0}\, 2x+h+2 \implies \boxed{f'(x) = 2x+2}$

Resposta:

A derivada de f(x) = x²+2x é f'(x) = 2x + 2.